Dizemos que a função f é contínua no número a se e somente se as seguintes condições forem satisfeitas:
(i) f(a) existe;
(ii) lim x a f(x) existe;
(iii) lim x a f(x)=f(a).
Se uma ou mais de uma dessas condições não forem verificadas em a, a função f será descontínua em a.
Nos Exercícios de 23 a 32, prove que a função é descontínua no número a. Então determine se a descontinuidade é removível ou essencial. Se a descontinuidade for removível, redefina f(a) de tal modo que seja removida.
f(t)=ll9-t^2 & se t <= 2 3 t+2 & se 2<t ; a=2

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(t)= 9 - t^2, & t <= 2, 3t + 2, & t > 2,
e pede para provar que f é descontínua em a=2 e identificar se a descontinuidade é removível ou essencial, usando a definição de continuidade (condições (i), (ii) e (iii)).

Passo 2

Verificamos a condição (i) para continuidade em a=2, ou seja, se f(2) existe. Como 2<=2, usamos o primeiro ramo:
f(2)=9 - 2^2=9-4=5
Logo, a condição (i) está satisfeita.

Passo 3

Agora checamos a condição (ii): existência de limtto2f(t). Calculamos as limites laterais.
Pela esquerda, para t<2, vale f(t)=9-t^2, então
limtto2^-f(t) =limtto2^-(9-t^2) =9-2^2=5
Pela direita, para t>2, vale f(t)=3t+2, então
limtto2^+f(t) =limtto2^+(3t+2) =3cdot2+2=8

Passo 4

Como
limtto2^-f(t)=5neq8=limtto2^+f(t),
o limite limtto2f(t) não existe. Logo, a condição (ii) falha e f é descontínua em a=2.

Passo 5

Essa diferença entre os limites laterais caracteriza uma descontinuidade por salto, que é um caso de descontinuidade essencial. Não há como remover essa descontinuidade apenas redefinindo f(2), pois não existe um único valor que iguale ambos os lados.

Resposta

A função é descontínua em a=2 com descontinuidade essencial (salto). Não é possível removê-la redefinindo f(2).

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