Dizemos que a função é contínua no número se e somente se as seguintes condições forem satisfeitas:
(i) existe;
(ii) existe;
(iii) .
Se uma ou mais de uma dessas condições não forem verificadas em , a função será descontínua em .
Nos Exercícios de 23 a 32, prove que a função é descontínua no número a. Então determine se a descontinuidade é removível ou essencial. Se a descontinuidade for removível, redefina f(a) de tal modo que seja removida.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
f(t)= 9 - t^2, & t <= 2, 3t + 2, & t > 2,
e pede para provar que f é descontínua em a=2 e identificar se a descontinuidade é removível ou essencial, usando a definição de continuidade (condições (i), (ii) e (iii)).
Passo 2
Verificamos a condição (i) para continuidade em a=2, ou seja, se f(2) existe. Como 2<=2, usamos o primeiro ramo:
f(2)=9 - 2^2=9-4=5
Logo, a condição (i) está satisfeita.
Passo 3
Agora checamos a condição (ii): existência de limtto2f(t). Calculamos as limites laterais.
Pela esquerda, para t<2, vale f(t)=9-t^2, então
limtto2^-f(t) =limtto2^-(9-t^2) =9-2^2=5
Pela direita, para t>2, vale f(t)=3t+2, então
limtto2^+f(t) =limtto2^+(3t+2) =3cdot2+2=8
Passo 4
Como
limtto2^-f(t)=5neq8=limtto2^+f(t),
o limite limtto2f(t) não existe. Logo, a condição (ii) falha e f é descontínua em a=2.
Passo 5
Essa diferença entre os limites laterais caracteriza uma descontinuidade por salto, que é um caso de descontinuidade essencial. Não há como remover essa descontinuidade apenas redefinindo f(2), pois não existe um único valor que iguale ambos os lados.
Resposta
A função é descontínua em a=2 com descontinuidade essencial (salto). Não é possível removê-la redefinindo f(2).