Dizemos que a função f é contínua no número a se e somente se as seguintes condições forem satisfeitas:
(i) f(a) existe;
(ii) lim x a f(x) existe;
(iii) lim x a f(x)=f(a).
Se uma ou mais de uma dessas condições não forem verificadas em a, a função f será descontínua em a.
Nos Exercícios de 23 a 32, prove que a função é descontínua no número a. Então determine se a descontinuidade é removível ou essencial. Se a descontinuidade for removível, redefina f(a) de tal modo que seja removida.
f(x)=9 x^2-43 x-2 ; a=23

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)=9x^2-43x-2
e pede para mostrar que ela é descontínua em a=tfrac23, classificar a descontinuidade (removível ou essencial) e, se for removível, redefinir f(a) para removê-la. Vamos usar a definição de continuidade em um ponto e propriedades de limites de funções racionais.

Passo 2

Verificamos se f(a) existe. Substituindo x=a=tfrac23 no denominador:
3l(tfrac23r)-2=2-2=0,
logo o valor fl(tfrac23r) não está definido. Portanto a condição (i) da continuidade falha e f é descontínua em a=tfrac23.

Passo 3

Calculamos o limite limxto 23f(x). Note que
9x^2-4=(3x-2)(3x+2),
então, para xneq tfrac23,
f(x)=(3x-2)(3x+2)3x-2=3x+2
Assim
limxto 23f(x) =limxto 23(3x+2) =3cdottfrac23+2 =2+2 =4
O limite existe e é igual a 4.

Passo 4

Como limxto 23f(x)=4 existe finito, mas fl(tfrac23r) não existe, a descontinuidade em a=tfrac23 é removível.

Passo 5

Para remover a descontinuidade, basta definir
f!l(tfrac23r)=4

Resposta

A função é descontínua em a=tfrac23 por falha na existência de f(a), mas o limite existe e vale 4, caracterizando descontinuidade removível. Redefinindo
f!l(tfrac23r)=4,
a função fica contínua em x=tfrac23.

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