Dizemos que a função
é contínua no número
se e somente se as seguintes condições forem satisfeitas:
(i)
existe;
(ii)
existe;
(iii)
.
Se uma ou mais de uma dessas condições não forem verificadas em
, a função
será descontínua em
.
Nos Exercícios de 23 a 32, prove que a função é descontínua no número a. Então determine se a descontinuidade é removível ou essencial. Se a descontinuidade for removível, redefina f(a) de tal modo que seja removida.
(i)
(ii)
(iii)
Se uma ou mais de uma dessas condições não forem verificadas em
Nos Exercícios de 23 a 32, prove que a função é descontínua no número a. Então determine se a descontinuidade é removível ou essencial. Se a descontinuidade for removível, redefina f(a) de tal modo que seja removida.
Passo 1
O enunciado define a função
e pede para mostrar que ela é descontínua em
, classificar a descontinuidade (removível ou essencial) e, se for removível, redefinir
para removê-la. Vamos usar a definição de continuidade em um ponto e propriedades de limites de funções racionais.
Passo 2
Verificamos se
existe. Substituindo
no denominador:
logo o valor
não está definido. Portanto a condição (i) da continuidade falha e
é descontínua em
.
Passo 3
Calculamos o limite
. Note que
então, para
,
Assim
O limite existe e é igual a
.
Passo 4
Como
existe finito, mas
não existe, a descontinuidade em
é removível.
Passo 5
Para remover a descontinuidade, basta definir
Resposta
A função é descontínua em
por falha na existência de
, mas o limite existe e vale
, caracterizando descontinuidade removível. Redefinindo
a função fica contínua em
.