Analise o tipo de convergência de sumn=1^infty(-1)^n+1 2 cdot 4 cdot 6 cdot 8 cdots cdots(2 n)1 cdot 4 cdot 7 cdot 10 cdots cdot(3 n-2).

Passo 1

O enunciado pede para analisar o tipo de convergência da série alternada
sumn=1^infty(-1)^n+12cdot4cdot6cdots(2n)1cdot4cdot7cdots(3n-2)
Chamemos
an = 2cdot4cdot6cdots(2n)1cdot4cdot7cdots(3n-2),
de modo que o termo geral seja un = (-1)^n+1an. Vamos primeiro verificar a convergência absoluta, isto é, a série sum an.

Passo 2

Para aplicar o teste da razão à série sum an, calculamos a razão entre termos consecutivos:
an+1an = l(2cdot4cdotcdotscdot2ncdot2(n+1)r)/(1cdot4cdotcdotscdot(3n-2)cdot(3(n+1)-2)) l(2cdot4cdotcdotscdot2nr)/(1cdot4cdotcdotscdot(3n-2)) = 2(n+1)3(n+1)-2

Passo 3

Simplificando e tomando o limite quando ntoinfty:
an+1an = 2n+23n+1, L = limntoinfty2n+23n+1 = 23
Como L = tfrac23<1, o teste da razão garante que sum an converge.

Passo 4

Como sum|un| = sum an converge, a série original converge absolutamente. Portanto não há apenas convergência condicional: ela é absolutamente convergente.

Resposta

A série converge absolutamente.

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