Analise o tipo de convergência de sumn=1^infty(-1)^n 5^2 n+1(2 n+1) !

Passo 1

O enunciado pede para analisar o tipo de convergência da série
sumn=1^infty(-1)^n,5^2n+1(2n+1)!
O conteúdo aqui é teste de convergência de séries numéricas, em particular distinguir convergência absoluta de condicional. Vamos aplicar o teste da razão à série dos valores absolutos para verificar convergência absoluta.

Passo 2

Definimos
an = 5^2n+1(2n+1)!
de modo que a série absoluta é
sumn=1^inftyan = sumn=1^infty5^2n+1(2n+1)!
Aplicamos o teste da razão calculando
L = limntoinftyan+1an

Passo 3

Temos
an+1an = 5^2(n+1)+1/(2(n+1)+1)!5^2n+1/(2n+1)! = 5^2n+3(2n+3)!,(2n+1)!5^2n+1 = 25;1(2n+3)(2n+2)
Tomando o limite,
L = limntoinfty25;1(2n+3)(2n+2) = 0

Passo 4

Como L=0<1, o teste da razão garante que
sumn=1^inftyan
converge. Logo a série original converge absolutamente. Convergência absoluta implica convergência da série alternada.

Resposta

A série converge absolutamente.

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