Analise o tipo de convergência de sumn=1^infty(-1)^n raiz2 n-1n.

Passo 1

Vamos estudar a série
sumn=1^infty(-1)^n,raiz2n-1n
O conteúdo aqui é critério de Leibniz para séries alternadas e teste de comparação para a convergência absoluta. Precisamos verificar:
  1. Se os termos gerais (em módulo) decrescem e vão a zero (para aplicar Leibniz).
  2. Se a série das magnitudes
    sum raiz2n-1n converge ou diverge.

Passo 2

Aplicando o critério de Leibniz, consideramos
bn = raiz2n-1n
(a) Limite a zero:
limntoinftybn =limntoinftyraiz2n-1n =limntoinftyraizn,raiz2 - 1/nn =limntoinftyraiz2 - 1/nraizn =0
(b) Monotonicidade decrescente para n>=1: basta comparar
bn+1^2=2n+1(n+1)^2 e bn^2=2n-1n^2
Verifica-se
2n+1(n+1)^2<=2n-1n^2 iff (2n+1)n^2<=(2n-1)(n+1)^2
iff2n^3+n^2<=2n^3+3n^2-1 iff0<=2n^2-1,
que é verdade para todo n>=1. Logo (bn) é decrescente e tende a zero. Pelo critério de Leibniz, a série original converge.

Passo 3

Agora, para verificar convergência absoluta, olhamos para
sumn=1^inftyl|(-1)^nraiz2n-1nr| =sumn=1^inftyraiz2n-1n
Para n grande,
raiz2n-1nsimraiz2nn=raiz2,n^-tfrac12
Mas sum n^-1/2 é uma p-série com p=tfrac12<=1, que diverge. Pelo teste de comparação,
sum raiz2n-1n diverge, ou seja, não há convergência absoluta.

Resposta

A série converge condicionalmente, mas não converge absolutamente.

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