Determine se a série sumn=1(-1)^n 1 cdot 3 cdot 5 cdots cdots(2 n-1)1 cdot 4 cdot 7 cdots cdot(3 n-2) é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente

Passo 1

O enunciado nos pede para analisar a série alternada
sumn=1^infty (-1)^n,1cdot3cdot5cdots(2n-1)1cdot4cdot7cdots(3n-2)
e dizer se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
O conteúdo envolvido é teste de convergência de séries, em especial teste da razão para a série de termos absolutos.

Passo 2

Chamemos
an = (-1)^n,1cdot3cdot5cdots(2n-1)1cdot4cdot7cdots(3n-2),
e consideremos a série de valores absolutos
sumn=1^infty |an| =sumn=1^infty 1cdot3cdot5cdots(2n-1)1cdot4cdot7cdots(3n-2)

Passo 3

Aplicamos o teste da razão em bn=|an|. Calculamos
bn+1bn = 1cdot3cdots(2n-1),(2n+1) 1cdot4cdots(3n-2),(3n+1) ;/; 1cdot3cdots(2n-1) 1cdot4cdots(3n-2) =2n+13n+1
Tomando o limite quando ntoinfty,
limntoinftybn+1bn =limntoinfty2n+13n+1 =23<1
Como esse limite é menor que 1, o teste da razão garante que sum bn converge.

Passo 4

Como sumn=1^infty|an| converge, a série original sum an é absolutamente convergente.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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