Determine se a série sumn=1(-1)^n 1 cdot 3 cdot 5 cdots cdots(2 n-1)2 cdot 4 cdot 6 cdots cdot(2 n) é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente

Passo 1

O enunciado pede para analisar a série
sumn=1^infty(-1)^n1cdot3cdot5cdots(2n-1)2cdot4cdot6cdots(2n)
Decidiremos se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Conteúdo necessário: teste de convergência absoluta (comparação com séries p), e teste de Leibniz para séries alternadas.

Passo 2

Vamos chamar
an=1cdot3cdot5cdots(2n-1)2cdot4cdot6cdots(2n)
Repare que
1cdot3cdot5cdots(2n-1)=(2n)!2^n,n!, 2cdot4cdot6cdots(2n)=2^n,n!
Logo
an=(2n)!2^n,n!;2^n,n! =(2n)!(n!)^2,4^n =binom2nn4^n

Passo 3

Analisamos a convergência absoluta, isto é,
sumn=1^infty |(-1)^n an|=sumn=1^infty an.
Usamos o comportamento assintótico da coeficiente central:
binom2nnsim4^nraizpi n quando ntoinfty
Então
an=binom2nn4^nsim1raizpi n
A série sum1/raizpi n é proporcional a sum n^-1/2, que diverge ( p-série com p=tfrac12<1).
Logo sum an diverge, e a série não é absolutamente convergente.

Passo 4

Agora aplicamos o teste de Leibniz (série alternada). Para isso basta verificar que an>0, limntoinftyan=0 e que an é (eventualmente) monótona decrescente.
  1. De ansim1/raizpi n segue limntoinftyan=0.
  2. Pode-se demonstrar que a razão
an+1an=2n+12n+2<1
para todo n, logo an+1<an.
Portanto todas as hipóteses do teste de Leibniz são satisfeitas e a série
sum(-1)^n an converge.

Resposta

A série é condicionalmente convergente.

Exercícios relacionados