Determine se a série
é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente
Passo 1
O enunciado pede para analisar a série
Decidiremos se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Conteúdo necessário: teste de convergência absoluta (comparação com séries ), e teste de Leibniz para séries alternadas.
Conteúdo necessário: teste de convergência absoluta (comparação com séries
Passo 2
Vamos chamar
Repare que
Logo
Passo 3
Analisamos a convergência absoluta, isto é,
.
Usamos o comportamento assintótico da coeficiente central:
Usamos o comportamento assintótico da coeficiente central:
Então
A série
é proporcional a
, que diverge (
-série com
).
Logo diverge, e a série não é absolutamente convergente.
Logo
Passo 4
Agora aplicamos o teste de Leibniz (série alternada). Para isso basta verificar que
,
e que
é (eventualmente) monótona decrescente.
- De
segue . - Pode-se demonstrar que a razão
para todo
, logo
.
Portanto todas as hipóteses do teste de Leibniz são satisfeitas e a série
converge.
Portanto todas as hipóteses do teste de Leibniz são satisfeitas e a série
Resposta
A série é condicionalmente convergente.