Ex 2. (Análise Topográfica)
A função
representa a altitude de um terreno, em metros, sendo
e
dados em quilômetros.
(a) Esboce as curvas de nível para
.
(b) Interprete o que essas curvas indicam sobre o formato do terreno.
(c) Determine os pontos onde o terreno é mais íngreme.
A função
(a) Esboce as curvas de nível para
(b) Interprete o que essas curvas indicam sobre o formato do terreno.
(c) Determine os pontos onde o terreno é mais íngreme.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício de Análise Topográfica juntos! A gente tem uma função que representa a altitude de um terreno:
Aqui,
e
estão em quilômetros e a altitude em metros. O que a gente precisa fazer é:
a) Esboçar as curvas de nível para
.
b) Entender o que essas curvas nos dizem sobre o formato do terreno.
c) Encontrar os pontos onde o terreno é mais inclinado.
Vamos por partes!
Passo 2
Parte (a): Esboçando as curvas de nível
Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Imagine que você está olhando para um mapa topográfico: cada linha representa um ponto de mesma altitude. Essas linhas nos ajudam a visualizar como o terreno sobe ou desce.
Para encontrar as curvas de nível, substituímos
por cada valor dado e resolvemos para
em função de
:
Onde
é a altitude específica (40, 60, 80, 90). Vamos rearranjar a equação:
Isso nos dá a equação de uma parábola para cada valor de
.
Vamos calcular para cada
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Agora, para cada um desses, podemos esboçar as curvas no plano
, lembrando que só existem valores reais para
quando o que está dentro da raiz quadrada é positivo.
Passo 3
Parte (b): Interpretando as curvas de nível
As curvas de nível que esboçamos representam a altitude constante do terreno. Observando as equações, percebemos que cada curva é uma parábola aberta para baixo, já que o coeficiente de
é negativo.
Isso indica que o terreno tem uma forma de “concavidade” em relação ao eixo
. À medida que a altitude aumenta (de 40 para 90 metros), as parábolas ficam mais estreitas, mostrando que o terreno se inclina mais rapidamente à medida que subimos.
Basicamente, essas curvas nos mostram que o terreno sobe de maneira mais acentuada conforme nos afastamos do centro (onde
), formando uma espécie de “slopes” em forma de parábola.
Passo 4
Parte (c): Determinando os pontos onde o terreno é mais íngreme
Para achar onde o terreno é mais íngreme, precisamos encontrar onde a inclinação da função
é máxima. Isso está relacionado com o gradiente da função, que aponta na direção de maior crescimento.
Primeiro, calculamos as derivadas parciais de
em relação a
e
:
O gradiente é, portanto:
A inclinação é mais íngreme onde a magnitude do gradiente é maior. A magnitude do gradiente é:
Para maximizar
, precisamos maximizar
. Observando a equação original do terreno:
Como a altitude diminui com o aumento de
e
, os pontos mais íngremes estão nos valores máximos de
e
dentro das restrições do terreno. Isso ocorre nos pontos onde
e
são mais distantes do centro.
Portanto, os pontos onde o terreno é mais íngreme estão nas extremidades das curvas de nível, onde
e
atingem seus valores máximos dentro das condições dadas.
Resposta
a) As curvas de nível para
são parábolas abertas para baixo no plano
, definidas por
,
,
e
, respectivamente.
b) Essas curvas indicam que o terreno possui uma concavidade em relação ao eixo
, com a inclinação aumentando à medida que a altitude aumenta, formando “slopes” mais acentuados conforme nos afastamos do centro.
c) Os pontos onde o terreno é mais íngreme estão nas extremidades das curvas de nível, onde
e
alcançam seus valores máximos dentro das restrições da altitude definida pela função.