Ex 2. (Análise Topográfica)
A função
f(x, y)=100-2 x^2-y^2
representa a altitude de um terreno, em metros, sendo x e y dados em quilômetros.
(a) Esboce as curvas de nível para f(x, y)=40,60,80,90.
(b) Interprete o que essas curvas indicam sobre o formato do terreno.
(c) Determine os pontos onde o terreno é mais íngreme.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício de Análise Topográfica juntos! A gente tem uma função que representa a altitude de um terreno:
f(x, y) = 100 - 2x^2 - y^2
Aqui, x e y estão em quilômetros e a altitude em metros. O que a gente precisa fazer é:
a) Esboçar as curvas de nível para f(x, y) = 40, 60, 80, 90.
b) Entender o que essas curvas nos dizem sobre o formato do terreno.
c) Encontrar os pontos onde o terreno é mais inclinado.
Vamos por partes!

Passo 2

Parte (a): Esboçando as curvas de nível
Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Imagine que você está olhando para um mapa topográfico: cada linha representa um ponto de mesma altitude. Essas linhas nos ajudam a visualizar como o terreno sobe ou desce.
Para encontrar as curvas de nível, substituímos f(x, y) por cada valor dado e resolvemos para y em função de x:
100 - 2x^2 - y^2 = C
Onde C é a altitude específica (40, 60, 80, 90). Vamos rearranjar a equação:
y^2 = 100 - 2x^2 - C y = pm raiz100 - 2x^2 - C
Isso nos dá a equação de uma parábola para cada valor de C.
Vamos calcular para cada C:
  1. Para C = 40:
y^2 = 100 - 2x^2 - 40 y^2 = 60 - 2x^2 y = pm raiz60 - 2x^2
  1. Para C = 60:
y^2 = 100 - 2x^2 - 60 y^2 = 40 - 2x^2 y = pm raiz40 - 2x^2
  1. Para C = 80:
y^2 = 100 - 2x^2 - 80 y^2 = 20 - 2x^2 y = pm raiz20 - 2x^2
  1. Para C = 90:
y^2 = 100 - 2x^2 - 90 y^2 = 10 - 2x^2 y = pm raiz10 - 2x^2
Agora, para cada um desses, podemos esboçar as curvas no plano xy, lembrando que só existem valores reais para y quando o que está dentro da raiz quadrada é positivo.

Passo 3

Parte (b): Interpretando as curvas de nível
As curvas de nível que esboçamos representam a altitude constante do terreno. Observando as equações, percebemos que cada curva é uma parábola aberta para baixo, já que o coeficiente de x^2 é negativo.
Isso indica que o terreno tem uma forma de “concavidade” em relação ao eixo x. À medida que a altitude aumenta (de 40 para 90 metros), as parábolas ficam mais estreitas, mostrando que o terreno se inclina mais rapidamente à medida que subimos.
Basicamente, essas curvas nos mostram que o terreno sobe de maneira mais acentuada conforme nos afastamos do centro (onde x = 0), formando uma espécie de “slopes” em forma de parábola.

Passo 4

Parte (c): Determinando os pontos onde o terreno é mais íngreme
Para achar onde o terreno é mais íngreme, precisamos encontrar onde a inclinação da função f(x, y) é máxima. Isso está relacionado com o gradiente da função, que aponta na direção de maior crescimento.
Primeiro, calculamos as derivadas parciais de f em relação a x e y:
partial fpartial x = -4x partial fpartial y = -2y
O gradiente é, portanto:
nabla f = (-4x, -2y)
A inclinação é mais íngreme onde a magnitude do gradiente é maior. A magnitude do gradiente é:
|nabla f| = raiz(-4x)^2 + (-2y)^2 = raiz16x^2 + 4y^2 = 2raiz4x^2 + y^2
Para maximizar |nabla f|, precisamos maximizar 4x^2 + y^2. Observando a equação original do terreno:
f(x, y) = 100 - 2x^2 - y^2
Como a altitude diminui com o aumento de x e y, os pontos mais íngremes estão nos valores máximos de x e y dentro das restrições do terreno. Isso ocorre nos pontos onde x e y são mais distantes do centro.
Portanto, os pontos onde o terreno é mais íngreme estão nas extremidades das curvas de nível, onde x e y atingem seus valores máximos dentro das condições dadas.

Resposta

a) As curvas de nível para f(x, y) = 40, 60, 80, 90 são parábolas abertas para baixo no plano xy, definidas por y = pm raiz60 - 2x^2, y = pm raiz40 - 2x^2, y = pm raiz20 - 2x^2 e y = pm raiz10 - 2x^2, respectivamente.
b) Essas curvas indicam que o terreno possui uma concavidade em relação ao eixo x, com a inclinação aumentando à medida que a altitude aumenta, formando “slopes” mais acentuados conforme nos afastamos do centro.
c) Os pontos onde o terreno é mais íngreme estão nas extremidades das curvas de nível, onde x e y alcançam seus valores máximos dentro das restrições da altitude definida pela função.

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