Questão 33. (Limites Infinitos)
Determine os limites a seguir.
lim x 1 x^2+2 xx^2-2 x+1

Passo 1

Beleza, o problema pede o limite
limx to 1 x^2 + 2xx^2 - 2x + 1,
É conteúdo de limites infinitos (quando a função “explode”). Para resolver a gente vai:
  1. tentar substituir direto;
  2. ver que dá uma forma tfracconstante0;
  3. analisar o sinal de numerador e denominador perto de x=1.

Passo 2

Primeiro, substitui x=1:
  • Numerador: 1^2 + 2cdot1 = 3.
  • Denominador: 1^2 - 2cdot1 +1 = 0.
    A gente ficou com 30, ou seja, o numerador vai pra 3neq0 e o denominador vai pra zero. Isso indica que o valor da fração vai para infinito (positivo ou negativo).

Passo 3

Agora decide se é +infty ou -infty.
  • Perto de x=1, o numerador x^2+2x fica em torno de 3, então é positivo.
  • O denominador x^2 - 2x +1 dá para fatorar:
x^2 - 2x +1 = (x-1)^2
Como é um quadrado, (x-1)^2>0 para todo xneq1.
Logo, perto de 1 (mas não igual a 1), o denominador também é positivo.
Numerador positivo ÷ denominador positivo = positivo, e como o denominador vai a zero, a fração “vira” +infty.

Resposta

limx to 1 x^2 + 2xx^2 - 2x + 1 = +infty

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