(a) Encontre a transformada de Laplace inversa da função
F(s)=1s(s^2+1)
(b) Use a transformada de Laplace para resolver o seguinte PVI:
l y^prime prime+y=g(t) y(0)=0 y^prime(0)=0 , onde g(t)= 0, & 0 <= t<pi 2, & pi <= t<3 pi 0, & t >= 3 pi

Passo 1

O enunciado tem duas partes. Na parte (a) precisamos encontrar a transformada de Laplace inversa de
F(s)=1sl(s^2+1r),
usando álgebra de frações parciais e tabelas de transformadas. Na parte (b) vamos resolver o problema de valor inicial
y''+y=g(t), y(0)=0,;y'(0)=0,
onde g(t) é uma função por partes, usando a transformada de Laplace, propriedades de deslocamento no domínio de s e funções degrau.

Passo 2

Para (a) fazemos frações parciais em
1s(s^2+1)=As+Bs+Cs^2+1
Multiplicando por s(s^2+1) obtemos
1=A(s^2+1)+(Bs+C)s=(A+B)s^2+Cs+A
Comparando coeficientes:
s^2:;A+B=0, s^1:;C=0, s^0:;A=1
Logo A=1, B=-1, C=0.

Passo 3

Substituindo os coeficientes temos
F(s)=1s-ss^2+1
Agora usamos transformadas inversas conhecidas:
L^-1ltfrac1sr=1, L^-1ltfracss^2+1r=cos t
Portanto
f(t)=L^-1F(s) =1-cos t

Passo 4

Para (b) aplicamos Laplace na EDO y''+y=g(t). Como y(0)=y'(0)=0,
Ly''=s^2Y(s), Ly=Y(s),
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(s^2+1),Y(s)=Lg(t) Longrightarrow Y(s)=Lg(t)s^2+1

Passo 5

Escrevemos g(t) em termos de degrau de Heaviside:
g(t)= 0,&0<= t<pi, 2,&pi<= t<3pi, 0,&t>=3pi =2l[u(t-pi)-u(t-3pi)r]
Sua transformada é
Lg(t) =2l(e^-pi ss-e^-3pi ssr)

Passo 6

Substituindo em Y(s) obtemos
Y(s) =2,e^-pi s-e^-3pi ss(s^2+1)

Passo 7

Repare que
1s(s^2+1)
é exatamente L1-cos t do item (a). Então, por deslocamento no tempo,
L^-1le^-a s,tfrac1s(s^2+1)r =(1-cos(t-a)),u(t-a)

Passo 8

Aplicando isso em cada termo de Y(s):
y(t) =2l[(1-cos(t-pi)),u(t-pi)-(1-cos(t-3pi)),u(t-3pi)r]

Passo 9

Para simplificar usamos
cos(t-pi)=-cos t, cos(t-3pi)=cosl((t-pi)-2pir)=cos(t-pi)=-cos t
Então
1-cos(t-pi)=1+cos t, 1-cos(t-3pi)=1+cos t
Logo
y(t) =2l[(1+cos t),u(t-pi)-(1+cos t),u(t-3pi)r]

Passo 10

Expressando de forma piecewise, para t>=0:
y(t)= 0,&0<= t<pi, 2l(1+cos tr),&pi<= t<3pi, 0,&t>=3pi

Resposta

(a) L^-1!lF(s)r=1-cos t
(b)
y(t)= 0,&0<= t<pi, 2l(1+cos tr),&pi<= t<3pi, 0,&t>=3pi

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