(a) Encontre a transformada de Laplace inversa da função
(b) Use a transformada de Laplace para resolver o seguinte PVI:
Passo 1
O enunciado tem duas partes. Na parte (a) precisamos encontrar a transformada de Laplace inversa de
usando álgebra de frações parciais e tabelas de transformadas. Na parte (b) vamos resolver o problema de valor inicial
onde
g(t) é uma função por partes, usando a transformada de Laplace, propriedades de deslocamento no domínio de
s e funções degrau.
Passo 2
Para (a) fazemos frações parciais em
Multiplicando por
s(s^2+1) obtemos
Comparando coeficientes:
Logo
A=1 ,
B=-1 ,
C=0 .
Passo 3
Substituindo os coeficientes temos
Agora usamos transformadas inversas conhecidas:
Portanto
Passo 4
Para (b) aplicamos Laplace na EDO
y''+y=g(t) . Como
y(0)=y'(0)=0 ,
logo
Passo 5
Escrevemos
g(t) em termos de degrau de Heaviside:
Sua transformada é
Passo 6
Substituindo em
Y(s) obtemos
Passo 7
Repare que
é exatamente
L1-cos t do item (a). Então, por deslocamento no tempo,
Passo 8
Aplicando isso em cada termo de
Y(s) :
Passo 9
Para simplificar usamos
Então
Logo
Passo 10
Expressando de forma piecewise, para
t>=0 :
Resposta
(a)
L^-1!lF(s)r=1-cos t
(b)
(b)