(a) Defina a transformada de Laplace de uma função e dê condições para sua existência.
(b) Calcule detalhadamente, usando a definição e sem usar a tabela, a transformada de Laplace de .
(c) Resolva o PVI
usando transformadas de Laplace.
Passo 1
O enunciado tem três partes sobre transformada de Laplace:
– (a) definição de e condições de existência;
– (b) cálculo de usando a definição, sem tabela;
– (c) resolução do PVI
usando transformada de Laplace. Vamos precisar de definição, condição de ordem exponencial, propriedades lineares, delta de Dirac e teorema de deslocamento no tempo.
Passo 2
Definimos a transformada de Laplace de uma função por
Para existir (isto é, convergir para algum ), exige-se que
seja contínua por partes em para todo , e
haja constantes e tais que
pois então a integral converge para .
Passo 3
Vamos calcular
por partes. Seja , , então , . Logo
Passo 4
Aplicando Laplace ao PVI, como x(0)=x'(0)=0, temos
Lx''=s^2X(s), L-5x'=-5sX(s), L4x=4X(s),
e do lado direito Lcos t= tfracss^2+1, Lde<a(t-pi)=e^-pi s.
Logo
(s^2-5s+4)X(s) =ss^2+1+e^-pi s,
X(s) =s(s^2+1)(s^2-5s+4)+e^-pi ss^2-5s+4,
com s^2-5s+4=(s-1)(s-4).
Passo 5
Para inverter s(s^2+1)(s-1)(s-4), fazemos frações parciais:
(a) Lf(t)=integral0^inftye^-stf(t),dt. Existe para Re(s)>a se f for contínua por partes e de ordem exponencial (isto é, |f(t)|<= M e^a t).
(b) L5t(s)=5s^2
(c)
x(t) =-16e^t+451e^4t +334cos t-534sin t +u(t-pi),13l(e^4(t-pi)-e^(t-pi)r)