(a) Defina a transformada de Laplace de uma função f(t) e dê condições para sua existência.
(b) Calcule detalhadamente, usando a definição e sem usar a tabela, a transformada de Laplace de f(t)=5 t.
(c) Resolva o PVI
x^prime prime-5 x^prime+4 x=cos t+de<a(t-pi), x(0)=x^prime(0)=0
usando transformadas de Laplace.

Passo 1

O enunciado tem três partes sobre transformada de Laplace:
– (a) definição de Lf(t) e condições de existência;
– (b) cálculo de L5t usando a definição, sem tabela;
– (c) resolução do PVI
x''-5x'+4x=cos t+de<a(t-pi), x(0)=x'(0)=0
usando transformada de Laplace. Vamos precisar de definição, condição de ordem exponencial, propriedades lineares, delta de Dirac e teorema de deslocamento no tempo.

Passo 2

Definimos a transformada de Laplace de uma função f(t) por
Lf(t)(s)=integral0^inftye^-stf(t),dt
Para existir (isto é, convergir para algum s), exige-se que
  1. f seja contínua por partes em [0,T] para todo T>0, e
  2. haja constantes M>0 e a tais que
|f(t)|<= M,e^a tpara todo t>=0,
pois então a integral converge para Re(s)>a.

Passo 3

Vamos calcular
L5t(s)=integral0^inftye^-st,5t,dt
por partes. Seja u=5t, dv=e^-stdt, então du=5,dt, v=-tfrac1se^-st. Logo
integral0^infty5t,e^-stdt =l-5tse^-str|0^infty+5sintegral0^inftye^-stdt =0+5scdot1s =5s^2

Passo 4

Aplicando Laplace ao PVI, como x(0)=x'(0)=0, temos
Lx''=s^2X(s), L-5x'=-5sX(s), L4x=4X(s),
e do lado direito
Lcos t= tfracss^2+1, Lde<a(t-pi)=e^-pi s.
Logo
(s^2-5s+4)X(s) =ss^2+1+e^-pi s,
X(s) =s(s^2+1)(s^2-5s+4)+e^-pi ss^2-5s+4,
com s^2-5s+4=(s-1)(s-4).

Passo 5

Para inverter
s(s^2+1)(s-1)(s-4), fazemos frações parciais:
s(s^2+1)(s-1)(s-4) =-tfrac16s-1+tfrac451s-4 +tfrac334s-tfrac534s^2+1
Aplicando inversa:
x1(t) =-16e^t+451e^4t +334cos t-534sin t

Passo 6

Para a parte com e^-pi s/[(s-1)(s-4)],
1(s-1)(s-4) =13l(1s-4-1s-1r),
logo
L^-1e^-pi scdot F(s) =f(t-pi),u(t-pi)
Temos
x2(t) =u(t-pi),13l(e^4(t-pi)-e^(t-pi)r)
Portanto
x(t)=x1(t)+x2(t)

Resposta

(a) Lf(t)=integral0^inftye^-stf(t),dt. Existe para Re(s)>a se f for contínua por partes e de ordem exponencial (isto é, |f(t)|<= M e^a t).
(b) L5t(s)=5s^2
(c)
x(t) =-16e^t+451e^4t +334cos t-534sin t +u(t-pi),13l(e^4(t-pi)-e^(t-pi)r)

Exercícios relacionados