O que vou responder (visto que o enunciado não pergunta explicitamente):
Verificar se a série converge ou diverge.
Fornecer estimativas úteis (limites) para a soma e para o restante depois de uma soma parcial.
Indicar o valor exato conhecido da soma (comentário histórico, não uma derivação detalhada aqui).
Todas as informações relevantes já dadas estão acima: termos da série 1/n^{2} e função contínua associada f(x)=1/x^{2}.
Passo 2
Verificar as hipóteses do teste da integral (por que usar esse teste). Vou mostrar que f é positiva, contínua e decrescente em [1,\infty), que são as hipóteses que permitem aplicar o teste da integral.
Para x>0 temos f'(x)<0. Logo f é decrescente em (0,\infty). Também é positiva e contínua em [1,\infty). Portanto podemos aplicar o teste da integral.
Explicando o teste da integral (de forma prática): se f é positiva, contínua e decrescente em [1,\infty), então a série \sum_{n=1}^{\infty} f(n) converge se, e somente se, a integral impropria \int_{1}^{\infty} f(x)\,dx converge. Além disso, esse teste dá formas práticas de estimar a soma usando integrais.
Como a integral converge (vale 1), pelo teste da integral a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}
converge.
Passo 4
Estimar a soma da série com desigualdades (argumento dos retângulos). Para f positiva e decrescente vale a desigualdade padrão (visualizável por retângulos):
Comentário prático: se você quer aproximar S com erro menor que \varepsilon, basta escolher N tal que 1/N<\varepsilon. Por exemplo, para erro <0{,}01 (um centésimo) basta N>100.
Passo 6
Valor exato conhecido (comentário histórico). É um fato clássico, mostrado por Euler no século XVIII, que
Essa igualdade não surge do teste da integral; sua demonstração usual usa técnicas diferentes (por exemplo expansão em série de Fourier de funções trigonométricas ou o desenvolvimento em produto infinito da função \sin x). A demonstração completa é mais avançada e foge das ferramentas básicas do teste da integral, mas vale saber o resultado final para consultas rápidas na prova.
Resposta
A série converge. 1 \le \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}} \le 2.
Valor exato conhecido: \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6}.