Considere a série:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}
Definimos:
f(x)=\frac{1}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}
e define a função
f(x)=\frac{1}{x^{2}}.
O que vou responder (visto que o enunciado não pergunta explicitamente):
  • Verificar se a série converge ou diverge.
  • Fornecer estimativas úteis (limites) para a soma e para o restante depois de uma soma parcial.
  • Indicar o valor exato conhecido da soma (comentário histórico, não uma derivação detalhada aqui).
Todas as informações relevantes já dadas estão acima: termos da série 1/n^{2} e função contínua associada f(x)=1/x^{2}.

Passo 2

Verificar as hipóteses do teste da integral (por que usar esse teste). Vou mostrar que f é positiva, contínua e decrescente em [1,\infty), que são as hipóteses que permitem aplicar o teste da integral.
Calcule a derivada de f:
f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x^{2}}\right)=\frac{d}{dx}\left(x^{-2}\right)=-2x^{-3}=-\frac{2}{x^{3}}.
Para x>0 temos f'(x)<0. Logo f é decrescente em (0,\infty). Também é positiva e contínua em [1,\infty). Portanto podemos aplicar o teste da integral.
Explicando o teste da integral (de forma prática): se f é positiva, contínua e decrescente em [1,\infty), então a série \sum_{n=1}^{\infty} f(n) converge se, e somente se, a integral impropria \int_{1}^{\infty} f(x)\,dx converge. Além disso, esse teste dá formas práticas de estimar a soma usando integrais.

Passo 3

Calcular a integral imprópria associada:
\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^{2}}\,dx.
Encontramos a primitiva de x^{-2}:
\int x^{-2}\,dx=-x^{-1}+\text{const}=-\frac{1}{x}+\text{const}.
Avaliaremos o limite:
\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^{2}}\,dx=\lim_{t\to\infty}\left(-\frac{1}{x}\right)\Bigg|_{1}^{t} =\lim_{t\to\infty}\left(-\frac{1}{t}+\frac{1}{1}\right)=1.
Como a integral converge (vale 1), pelo teste da integral a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}
converge.

Passo 4

Estimar a soma da série com desigualdades (argumento dos retângulos). Para f positiva e decrescente vale a desigualdade padrão (visualizável por retângulos):
\int_{1}^{\infty} f(x)\,dx \le \sum_{n=1}^{\infty} f(n) \le f(1)+\int_{1}^{\infty} f(x)\,dx.
Aplicando aqui f(x)=1/x^{2} e usando \int_{1}^{\infty}1/x^{2}\,dx=1 e f(1)=1, obtemos
1 \le \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}} \le 1+1,
ou seja
1 \le \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}} \le 2.
Dica prática: essa é uma primeira estimativa grosseira; dá a confirmação e uma faixa inicial para a soma.

Passo 5

Estimativa do resto após N termos (útil na prova para controle de erro). Denotando a soma total por
S=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}
e a soma parcial por
S_{N}=\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n^{2}},
o resto R_{N}=S-S_{N}=\sum_{n=N+1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}} satisfaz, para f decrescente,
\int_{N+1}^{\infty} f(x)\,dx \le R_{N} \le \int_{N}^{\infty} f(x)\,dx.
Aqui as integrais são fáceis:
\int_{N}^{\infty}\frac{1}{x^{2}}\,dx=\frac{1}{N},\qquad \int_{N+1}^{\infty}\frac{1}{x^{2}}\,dx=\frac{1}{N+1}.
Portanto temos o compacto e muito útil erro:
\frac{1}{N+1}\le R_{N}\le\frac{1}{N}.
Equivalente:
S_{N}+\frac{1}{N+1}\le S\le S_{N}+\frac{1}{N}.
Comentário prático: se você quer aproximar S com erro menor que \varepsilon, basta escolher N tal que 1/N<\varepsilon. Por exemplo, para erro <0{,}01 (um centésimo) basta N>100.

Passo 6

Valor exato conhecido (comentário histórico). É um fato clássico, mostrado por Euler no século XVIII, que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6}.
Essa igualdade não surge do teste da integral; sua demonstração usual usa técnicas diferentes (por exemplo expansão em série de Fourier de funções trigonométricas ou o desenvolvimento em produto infinito da função \sin x). A demonstração completa é mais avançada e foge das ferramentas básicas do teste da integral, mas vale saber o resultado final para consultas rápidas na prova.

Resposta

A série converge.
1 \le \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}} \le 2.
Valor exato conhecido: \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6}.

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