Analise a veracidade das seguintes afirmações e justifique:
d) Sejam A, B matrizes quadradas tais que det(A)=det(B) então as matrizes A e B comutam.

Passo 1

O enunciado pergunta se, dadas duas matrizes quadradas A e B tais que det(A)=det(B), sempre vale AB=BA. O conteúdo aqui relaciona propriedades de determinante (que é um escalar associado a cada matriz) e de comutatividade de matrizes (que exige muita mais estrutura, como compartilhamento de autovetores ou bases simultâneas).

Passo 2

Igualdade de determinantes significa apenas que o produto dos autovalores de A coincide com o produto dos autovalores de B. Já a condição AB=BA exige que A e B possam ser simultaneamente triangularizadas na mesma base — é muito mais forte do que apenas uma coincidência de produtos de autovalores.

Passo 3

Para mostrar que a afirmação é falsa, basta um contraexemplo. Considere as matrizes
A = 1 & 1 0 & 1, B = 1 & 0 1 & 1
Cada uma delas tem determinante
det(A)=1cdot1-1cdot0=1, det(B)=1cdot1-0cdot1=1,
logo det(A)=det(B). Mas
AB =1 & 1 0 & 1 1 & 0 1 & 1 =2 & 1 1 & 1,
BA =1 & 0 1 & 1 1 & 1 0 & 1 =1 & 1 1 & 2,
e claramente ABneq BA.

Resposta

A afirmação é falsa.

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