Analise a veracidade das seguintes afirmações e justifique:
d) Sejam matrizes quadradas tais que então as matrizes e comutam.
Passo 1
O enunciado pergunta se, dadas duas matrizes quadradas e tais que , sempre vale . O conteúdo aqui relaciona propriedades de determinante (que é um escalar associado a cada matriz) e de comutatividade de matrizes (que exige muita mais estrutura, como compartilhamento de autovetores ou bases simultâneas).
Passo 2
Igualdade de determinantes significa apenas que o produto dos autovalores de coincide com o produto dos autovalores de . Já a condição exige que e possam ser simultaneamente triangularizadas na mesma base — é muito mais forte do que apenas uma coincidência de produtos de autovalores.
Passo 3
Para mostrar que a afirmação é falsa, basta um contraexemplo. Considere as matrizes