Determine se as transformaçőes, abaixo, são transformaçōes lineares.
a) Defina transformação linear e núcleo de transformação linear.
a) Defina transformação linear e núcleo de transformação linear.
Passo 1
O enunciado pede para definirmos dois conceitos básicos de Álgebra Linear: 1) o que é uma transformação linear (ou aplicação linear) entre espaços vetoriais e 2) o que é o núcleo dessa transformação. Esses conceitos são essenciais para estudar propriedades de aplicações em espaços vetoriais.
Passo 2
Uma função
entre espaços vetoriais
e
sobre um mesmo corpo
é chamada de transformação linear se, para quaisquer vetores
e qualquer escalar
, valem simultaneamente as duas propriedades:
e
A primeira condição é a aditividade e a segunda é a homogeneidade em relação a escalares.
Passo 3
O núcleo (ou kernel) de uma transformação linear
é o subconjunto de
formado por todos os vetores que são enviados para o vetor zero em
. Em símbolos,
É fácil mostrar que
é subespaço vetorial de
.
Resposta
(a)
Definição de transformação linear: uma aplicação é linear se satisfaz
Definição de transformação linear: uma aplicação
para todo
e todo
.
Definição de núcleo de :
Definição de núcleo de