Determine se as transformaçőes, abaixo, são transformaçōes lineares.
a) Defina transformação linear e núcleo de transformação linear.

Passo 1

O enunciado pede para definirmos dois conceitos básicos de Álgebra Linear: 1) o que é uma transformação linear (ou aplicação linear) entre espaços vetoriais e 2) o que é o núcleo dessa transformação. Esses conceitos são essenciais para estudar propriedades de aplicações em espaços vetoriais.

Passo 2

Uma função Tcolon Vto W entre espaços vetoriais V e W sobre um mesmo corpo Bbb K é chamada de transformação linear se, para quaisquer vetores u,vin V e qualquer escalar alphainBbb K, valem simultaneamente as duas propriedades:
T(u+v)=T(u)+T(v)
e
T(alpha,v)=alpha,T(v)
A primeira condição é a aditividade e a segunda é a homogeneidade em relação a escalares.

Passo 3

O núcleo (ou kernel) de uma transformação linear Tcolon Vto W é o subconjunto de V formado por todos os vetores que são enviados para o vetor zero em W. Em símbolos,
ker(T)=lvin V mid T(v)=0Wr
É fácil mostrar que ker(T) é subespaço vetorial de V.

Resposta

(a)
Definição de transformação linear: uma aplicação Tcolon Vto W é linear se satisfaz
T(u+v)=T(u)+T(v) e T(alpha v)=alpha,T(v)
para todo u,vin V e todo alphainBbb K.
Definição de núcleo de T:
ker(T)=vin V mid T(v)=0W

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