Defina auto-espaço associado a um autovalor e multiplicidade geométrica de um autovalor.

Passo 1

O enunciado pede para definirmos o auto-espaço (ou eigenspace) associado a um autovalor de uma transformação linear (ou matriz) e a multiplicidade geométrica desse autovalor. O conteúdo é Álgebra Linear e vamos usar conceitos de núcleo de aplicação linear e dimensão de subespaços.

Passo 2

Seja V um espaço vetorial sobre um corpo K e T:Vto V uma transformação linear (ou seja, em coordenadas, uma matriz AinK^ntimes n). Dizemos que lambdainK é um autovalor de T se existe vetor não-nulo vin V tal que
T(v)=lambda v
O conjunto de todos esses vetores próprios para lambda forma o auto-espaço.

Passo 3

O auto-espaço associado a lambda é o subespaço
Elambda ;=;,vin Vmid T(v)=lambda v ;=;kerl(T - lambda Ir)
Como núcleo de uma aplicação linear, Elambda é de fato um subespaço de V.

Passo 4

A multiplicidade geométrica do autovalor lambda é definida como a dimensão do seu auto-espaço, ou seja
mu< >=ométrica de lambda ;=;diml(Elambdar) é
Ela indica quantos vetores próprios linearmente independentes correspondem a lambda.

Resposta

  • O auto-espaço associado a um autovalor lambda é
Elambda = v in V mid T(v) = lambda v = ker(T - lambda I)
  • A multiplicidade geométrica de lambda é
diml(Elambdar),
i.e.\ o número de vetores próprios linearmente independentes associados a lambda.

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