Defina auto-espaço associado a um autovalor e multiplicidade geométrica de um autovalor.
Passo 1
O enunciado pede para definirmos o auto-espaço (ou eigenspace) associado a um autovalor de uma transformação linear (ou matriz) e a multiplicidade geométrica desse autovalor. O conteúdo é Álgebra Linear e vamos usar conceitos de núcleo de aplicação linear e dimensão de subespaços.
Passo 2
Seja
um espaço vetorial sobre um corpo
e
uma transformação linear (ou seja, em coordenadas, uma matriz
). Dizemos que
é um autovalor de
se existe vetor não-nulo
tal que
O conjunto de todos esses vetores próprios para
forma o auto-espaço.
Passo 3
O auto-espaço associado a
é o subespaço
Como núcleo de uma aplicação linear,
é de fato um subespaço de
.
Passo 4
A multiplicidade geométrica do autovalor
é definida como a dimensão do seu auto-espaço, ou seja
Ela indica quantos vetores próprios linearmente independentes correspondem a
.
Resposta
- O auto-espaço associado a um autovalor
é
- A multiplicidade geométrica de
é
i.e.\ o número de vetores próprios linearmente independentes associados a
.