Escreva a equação vetorial, as equações paramétricas e as equações simétricas da reta r que passa por A=(3,-1,-2) e B=(1,2,4).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para escrever a equação vetorial, as equações paramétricas e as equações simétricas da reta r que passa pelos pontos A = (3, -1, -2) e B = (1, 2, 4) .
Aqui, estamos trabalhando com geometria vetorial no espaço tridimensional. Vamos precisar entender como encontrar um vetor diretor da reta e usar as coordenadas dos pontos para construir as diferentes formas de equação da reta.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor diretor da reta r . O vetor diretor é simplesmente a diferença entre as coordenadas dos dois pontos que a reta passa. Então, calculamos:
AB = B - A = (1 - 3, 2 - (-1), 4 - (-2)) = (-2, 3, 6)
Esse vetor AB = (-2, 3, 6) nos indica a direção da reta.

Passo 3

Agora, vamos escrever a equação vetorial da reta. A equação vetorial tem a forma:
r = A + t cdot AB
Substituindo os valores que temos:
r = 3 -1 -2 + t cdot -2 3 6
Onde t é um parâmetro real que varia ao longo da reta.

Passo 4

Vamos agora encontrar as equações paramétricas da reta. Essas equações expressam as coordenadas [x), e em função do parâmetro . A forma geral é:
Substituindo os valores de :

Passo 5

Por fim, vamos determinar as equações simétricas da reta. Essas equações relacionam as coordenadas x , y e z diretamente, eliminando o parâmetro t . A forma geral é:
x - xAa = y - yAb = z - zAc
Substituindo os valores de A e do vetor diretor AB :
x - 3-2 = y + 13 = z + 26

Resposta

A reta r que passa pelos pontos A = (3, -1, -2) e B = (1, 2, 4) tem:
  • Equação vetorial:
r = 3 -1 -2 + t cdot -2 3 6
  • Equações paramétricas:
x = 3 - 2t y = -1 + 3t z = -2 + 6t
  • Equações simétricas:
x - 3-2 = y + 13 = z + 26

Exercícios relacionados