Analise a veracidade das seguintes afirmações e justifique:
e) Seja
uma matriz quadrada triangular superior (ou inferior) então
é apenas o produto dos elementos ma diagonal da matriz.
e) Seja
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
é uma matriz quadrada triangular superior (ou inferior) de ordem
, então
ou seja, o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal. Vamos usar prova por indução e expansão por cofatores.
Passo 2
Caso base (
): uma matriz
é triangular e
Hipótese de indução: suponha a propriedade verdadeira para toda matriz triangular de ordem
.
Passo 3
Considere agora
triangular superior de ordem
. Todos os elementos abaixo da diagonal na primeira coluna são zero, isto é,
para
. Ao expandir
pela primeira coluna, só o cofator de
contribui:
onde
é o menor que resulta de eliminar a linha 1 e a coluna 1. Essa submatriz é triangular superior de ordem
, logo pela hipótese de indução
Portanto
Para matriz triangular inferior faz-se argumento análogo, expandindo pela primeira linha.
Resposta
A afirmação é verdadeira: para toda matriz triangular (superior ou inferior) vale