Analise a veracidade das seguintes afirmações e justifique:
e) Seja A uma matriz quadrada triangular superior (ou inferior) então det(A) é apenas o produto dos elementos ma diagonal da matriz.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se A é uma matriz quadrada triangular superior (ou inferior) de ordem n, então
det(A)=prodi=1^naii,
ou seja, o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal. Vamos usar prova por indução e expansão por cofatores.

Passo 2

Caso base ( n=1): uma matriz 1times1
A=(a11)
é triangular e
det(A)=a11=prodi=1^1aii
Hipótese de indução: suponha a propriedade verdadeira para toda matriz triangular de ordem n-1.

Passo 3

Considere agora A triangular superior de ordem n. Todos os elementos abaixo da diagonal na primeira coluna são zero, isto é, ai1=0 para i=2,dots,n. Ao expandir det(A) pela primeira coluna, só o cofator de a11 contribui:
det(A) =sumi=1^n(-1)^i+1ai1,Mi1 =a11,M11,
onde M11 é o menor que resulta de eliminar a linha 1 e a coluna 1. Essa submatriz é triangular superior de ordem n-1, logo pela hipótese de indução
M11=prodi=2^naii
Portanto
det(A)=a11,l(prodi=2^naiir) =prodi=1^naii
Para matriz triangular inferior faz-se argumento análogo, expandindo pela primeira linha.

Resposta

A afirmação é verdadeira: para toda matriz triangular (superior ou inferior) vale
det(A)=prodi=1^naii

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