Um analista do departamento pessoal deseja estimar o número médio de horas de treinamento anual para os capatazes de uma divisão da companhia, com um erro amostral de 3 horas e com
de confiança. Baseado em dados de outras divisões, ele estima o desvio padrão das horas de treinamento em
horas. Qual tamanho mínimo necessário da amostra?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido.
- O analista quer uma estimativa do número médio de horas de treinamento anual com erro amostral (margem de erro) de
horas. - O nível de confiança é de
. - O desvio padrão populacional é estimado em
horas (valor conhecido). - O que se pede: o tamanho mínimo da amostra
necessário para garantir essa margem de erro com de confiança.
Passo 2
Explicação do método e da fórmula que vamos usar (passo a passo, sem pular etapas).
Quando o desvio padrão populacional
é conhecido, o intervalo de confiança para a média populacional usa a distribuição normal padrão. A margem de erro
de um intervalo de confiança para a média é dada por
onde:
-
é a margem de erro desejada (aqui ); -
é o valor crítico da distribuição normal padrão correspondente à cauda (explico como achar logo); -
é o desvio padrão populacional conhecido (aqui ); -
é o tamanho da amostra que queremos determinar.
Essa fórmula vem do fato de que o erro padrão da média é
e a margem de erro é o valor crítico
vezes esse erro padrão.
Para encontrar
isolamos
na fórmula. Fazendo álgebra:
Passo 3
Determinar
para
de confiança.
- O nível de confiança
corresponde a . - Então
. - O valor crítico
é o quantil da normal padrão tal que a área à direita é (ou à esquerda é ). Esse valor é conhecido da tabela da normal padrão ou de calculadora e vale aproximadamente .
Portanto usaremos
.
Passo 4
Substituir os números na fórmula e calcular passo a passo.
Usando
substituímos
,
e
:
Calculemos em etapas:
Agora elevamos ao quadrado:
Como
representa o número de observações, deve ser um inteiro. Além disso, para garantir que a margem de erro seja no máximo
horas, sempre arredondamos para cima (se arredondássemos para baixo poderíamos ter margem maior que a desejada). Logo
Passo 5
Comentário prático rápido para a prova (resumo útil): usar a fórmula
quando
é conhecido; encontrar
pela tabela (para
é
); calcular, e sempre arredondar para cima.
Resposta
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