Um analista do departamento pessoal deseja estimar o número médio de horas de treinamento anual para os capatazes de uma divisão da companhia, com um erro amostral de 3 horas e com 90 \% de confiança. Baseado em dados de outras divisões, ele estima o desvio padrão das horas de treinamento em \sigma=20 horas. Qual tamanho mínimo necessário da amostra?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido.
  • O analista quer uma estimativa do número médio de horas de treinamento anual com erro amostral (margem de erro) de E=3 horas.
  • O nível de confiança é de 90\%.
  • O desvio padrão populacional é estimado em \sigma=20 horas (valor conhecido).
  • O que se pede: o tamanho mínimo da amostra n necessário para garantir essa margem de erro com 90\% de confiança.

Passo 2

Explicação do método e da fórmula que vamos usar (passo a passo, sem pular etapas).
Quando o desvio padrão populacional \sigma é conhecido, o intervalo de confiança para a média populacional usa a distribuição normal padrão. A margem de erro E de um intervalo de confiança para a média é dada por
E = z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}},
onde:
  • E é a margem de erro desejada (aqui E=3);
  • z_{\alpha/2} é o valor crítico da distribuição normal padrão correspondente à cauda \alpha/2 (explico como achar logo);
  • \sigma é o desvio padrão populacional conhecido (aqui \sigma=20);
  • n é o tamanho da amostra que queremos determinar.
Essa fórmula vem do fato de que o erro padrão da média é \sigma/\sqrt{n} e a margem de erro é o valor crítico z vezes esse erro padrão.
Para encontrar n isolamos n na fórmula. Fazendo álgebra:
E = z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \quad\Rightarrow\quad \sqrt{n} = z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{E} \quad\Rightarrow\quad n = \left(\frac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^{2}.

Passo 3

Determinar z_{\alpha/2} para 90\% de confiança.
  • O nível de confiança 90\% corresponde a \alpha = 1-0{,}90 = 0{,}10.
  • Então \alpha/2 = 0{,}05.
  • O valor crítico z_{\alpha/2} é o quantil da normal padrão tal que a área à direita é 0{,}05 (ou à esquerda é 0{,}95). Esse valor é conhecido da tabela da normal padrão ou de calculadora e vale aproximadamente z_{0{,}95}=1{,}645.
Portanto usaremos z_{\alpha/2}=1{,}645.

Passo 4

Substituir os números na fórmula e calcular passo a passo.
Usando
n = \left(\frac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^{2},
substituímos z_{\alpha/2}=1{,}645, \sigma=20 e E=3:
n = \left(\frac{1{,}645 \times 20}{3}\right)^{2}.
Calculemos em etapas:
1{,}645 \times 20 = 32{,}9.
\frac{32{,}9}{3} = 10{,}966\overline{6}\\ (\text{aprox. }10{,}9667).
Agora elevamos ao quadrado:
n \approx (10{,}9667)^{2} \approx 120{,}2678.
Como n representa o número de observações, deve ser um inteiro. Além disso, para garantir que a margem de erro seja no máximo 3 horas, sempre arredondamos para cima (se arredondássemos para baixo poderíamos ter margem maior que a desejada). Logo
n_{\min} = 121.

Passo 5

Comentário prático rápido para a prova (resumo útil): usar a fórmula n=(z_{\alpha/2}\sigma/E)^2 quando \sigma é conhecido; encontrar z_{\alpha/2} pela tabela (para 90\% é 1{,}645); calcular, e sempre arredondar para cima.

Resposta

121

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