Seja uma população X: N(80,26) e retira-se uma amostra de tamanho 25. Calcule:
P(78<\bar{x}<81)

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (tudo isso vem do enunciado, sem suposições extras):
  • População X com distribuição normal \,N(80,26).
  • Tamanho da amostra n=25.
  • Pede-se a probabilidade \,P(78<\bar{x}<81).
Observação importante sobre a notação: vou considerar que \,N(80,26) significa média \mu=80 e variância \sigma^{2}=26 (convenção padrão). Logo o desvio-padrão populacional é \sigma=\sqrt{26}.

Passo 2

Conceito usado (explicado passo a passo):
  • Quando a população é normal \,N(\mu,\sigma^{2}) e se toma uma amostra de tamanho n, a média amostral \bar{x} tem distribuição normal também, com média igual à média populacional e variância igual à variância populacional dividida por n.
  • Em fórmula:
\bar{x}\sim N\!\left(\mu,\frac{\sigma^{2}}{n}\right).
  • Aqui cada símbolo significa:
    • \mu é a média da população (aqui \mu=80).
    • \sigma^{2} é a variância da população (aqui \sigma^{2}=26).
    • n é o tamanho da amostra (aqui n=25).
    • A raiz quadrada da variância da média amostral é o erro padrão (standard error), dado por \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}. Esse é o desvio-padrão da distribuição de \bar{x}.

Passo 3

Calcular o desvio-padrão populacional e o erro padrão:
  • \sigma=\sqrt{26}.
\sigma=\sqrt{26}\approx 5{,}0990195136.
  • Erro padrão da média amostral:
\text{SE}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{26}}{\sqrt{25}}=\frac{\sqrt{26}}{5}.
\text{SE}=\frac{5{,}0990195136}{5}\approx 1{,}0198039027\approx 1{,}0198.

Passo 4

Transformar o evento pedido em termos da normal padrão Z:
  • Queremos \,P(78<\bar{x}<81).
  • Padronizando cada limite pela fórmula
Z=\frac{\bar{x}-\mu}{\text{SE}},
obtemos os valores z correspondentes aos extremos:
z_1=\frac{78-80}{\text{SE}}=\frac{-2}{\sqrt{26}/5}=\frac{-10}{\sqrt{26}}\approx -1{,}9600,
z_2=\frac{81-80}{\text{SE}}=\frac{1}{\sqrt{26}/5}=\frac{5}{\sqrt{26}}\approx 0{,}9800.
Portanto
P(78<\bar{x}<81)=P\!\left(z_1<Z<z_2\right)=P\!\left(-1{,}9600<Z<0{,}9800\right).

Passo 5

Usar a tabela (ou função) da normal padrão para obter probabilidades:
  • Para a normal padrão Z, P(a<Z<b)=\Phi(b)-\Phi(a), onde \Phi é a função de distribuição acumulada.
  • Valores conhecidos/obtidos da tabela:
    • \Phi(0{,}98)\approx 0{,}8365.
    • \Phi(-1{,}96)=1-\Phi(1{,}96)=1-0{,}9750=0{,}0250 (uso a simetria da normal).
  • Então
P(78<\bar{x}<81)=\Phi(0{,}98)-\Phi(-1{,}96)\approx 0{,}8365-0{,}0250=0{,}8115.

Passo 6

Interpretação rápida e arredondamento:
  • A probabilidade de que a média da amostra (de tamanho 25) caia entre 78 e 81 é aproximadamente 0{,}8115, isto é cerca de 81{,}15\%.
  • Em provas costuma-se apresentar com 3 ou 4 casas significativas: 0{,}8115 ou 0{,}812.

Resposta

0{,}8115

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