Seja uma população
e retira-se uma amostra de tamanho 25. Calcule:
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (tudo isso vem do enunciado, sem suposições extras):
- População
com distribuição normal . - Tamanho da amostra
. - Pede-se a probabilidade
.
Observação importante sobre a notação: vou considerar que
significa média
e variância
(convenção padrão). Logo o desvio-padrão populacional é
.
Passo 2
Conceito usado (explicado passo a passo):
- Quando a população é normal
e se toma uma amostra de tamanho , a média amostral tem distribuição normal também, com média igual à média populacional e variância igual à variância populacional dividida por . - Em fórmula:
- Aqui cada símbolo significa:
-
é a média da população (aqui ). -
é a variância da população (aqui ). -
é o tamanho da amostra (aqui ). - A raiz quadrada da variância da média amostral é o erro padrão (standard error), dado por
. Esse é o desvio-padrão da distribuição de .
-
Passo 3
Calcular o desvio-padrão populacional e o erro padrão:
-
.
- Erro padrão da média amostral:
Passo 4
Transformar o evento pedido em termos da normal padrão
:
- Queremos
. - Padronizando cada limite pela fórmula
obtemos os valores
correspondentes aos extremos:
Portanto
Passo 5
Usar a tabela (ou função) da normal padrão para obter probabilidades:
- Para a normal padrão
, , onde é a função de distribuição acumulada. - Valores conhecidos/obtidos da tabela:
-
. -
(uso a simetria da normal).
-
- Então
Passo 6
Interpretação rápida e arredondamento:
- A probabilidade de que a média da amostra (de tamanho 25) caia entre 78 e 81 é aproximadamente
, isto é cerca de . - Em provas costuma-se apresentar com 3 ou 4 casas significativas:
ou .