Determine:
\quad \cos \left(\frac{\pi}{3}\right) e \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{3}\right)

Passo 1

O enunciado pede dois valores numéricos: \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) e \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{3}\right). Não há outros dados. Vamos determinar cada um desses valores exatos.

Passo 2

Lembrete rápido: na trigonometria com triângulo retângulo, para um ângulo \theta temos
\cos(\theta)=\frac{\text{cateto adjacente}}{\text{hipotenusa}},\qquad \operatorname{sen}(\theta)=\frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}}.
Outra visão equivalente e muito útil é a do círculo unitário: o ponto na circunferência correspondente ao ângulo \theta tem coordenadas (\cos\theta,\;\operatorname{sen}\theta).

Passo 3

Converter \frac{\pi}{3} para graus para ficar mais intuitivo:
\frac{\pi}{3}=\frac{180^\circ}{3}=60^\circ.
Ou seja, estamos a calcular cosseno e seno de 60^\circ.

Passo 4

Usaremos o triângulo especial 30^\circ\!-\!60^\circ\!-\!90^\circ. Uma maneira clássica de obtê-lo é partir de um triângulo equilátero de lado 2. Ao traçar a altura, obtém-se dois triângulos retângulos congruentes, cada um com hipotenusa 2, um cateto curto 1 (metade da base) e o outro cateto (a altura) dado por:
\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}.
Portanto, as proporções dos lados do triângulo retângulo são 1:\sqrt{3}:2, onde 1 é o cateto oposto a 30^\circ, \sqrt{3} é o cateto oposto a 60^\circ e 2 é a hipotenusa.

Passo 5

Para usar essas proporções na trigonometria normalizamos o triângulo para hipotenusa 1 (dividindo todos os lados por 2). Assim os comprimentos relativos tornam-se \tfrac{1}{2}:\tfrac{\sqrt{3}}{2}:1. Agora, para o ângulo de 60^\circ:
  • o cateto adjacente (ao ângulo 60^\circ) vale \tfrac{1}{2};
  • o cateto oposto (ao ângulo 60^\circ) vale \tfrac{\sqrt{3}}{2};
  • a hipotenusa vale 1.

Passo 6

Aplicando as definições:
\cos\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\cos(60^\circ)=\frac{\text{cateto adjacente}}{\text{hipotenusa}}=\frac{\tfrac{1}{2}}{1}=\tfrac{1}{2},
\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\operatorname{sen}(60^\circ)=\frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}}=\frac{\tfrac{\sqrt{3}}{2}}{1}=\tfrac{\sqrt{3}}{2}.

Resposta

\cos\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\tfrac{1}{2}
\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\tfrac{\sqrt{3}}{2}

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