Um auditor toma uma amostra de
de uma população de 1000 contas a receber. O desvio padrão da população é desconhecido, mas o desvio padrão da amostra é US
43,00
\mu=
$
$ 250,00
275,00?
Passo 1
O enunciado nos dá os seguintes dados e pede duas probabilidades:
- Tamanho da amostra:
. - Tamanho da população:
(informação dada, não necessária para o cálculo da média amostral aqui). - Desvio padrão da população: desconhecido.
- Desvio padrão da amostra:
(peguei este valor do enunciado). - Verdadeira média populacional:
(peguei este valor do enunciado).
As perguntas:
- Qual a probabilidade de que a média da amostra seja menor ou igual a
, isto é, supondo ? - Qual a probabilidade de que a média da amostra seja maior que
, isto é, supondo ?
Passo 2
Conceito e escolha do método (explicação didática e passo a passo):
- Quando a variância populacional é desconhecida (aqui
é desconhecido) e usamos o desvio da amostra para estimar o erro, a estatística padronizada para a média amostral segue a distribuição de Student com graus de liberdade (desde que a amostra venha de uma população aproximadamente normal ou seja razoavelmente grande). - A distribuição amostral da média
tem média e erro-padrão (standard error) igual a
Aqui
é o desvio padrão amostral,
é o tamanho da amostra.
- A estatística
correspondente é
Quando calculamos probabilidades sobre
usamos a distribuição
com
. No nosso caso
então
.
- Resumindo: vamos calcular o erro-padrão, transformar os valores amostrais em estatísticas
e usar a T(35) para obter as probabilidades (usando tabela de ou aproximação por interpolação).
Passo 3
Calcular o erro-padrão (mostrando cada passo de conta):
Em valor decimal,
Passo 4
Caso 1: probabilidade de
.
- Calcular a estatística
:
- A probabilidade pedida é
Como a distribuição
é simétrica, isso é igual a
no lado positivo, e podemos consultar uma tabela de
(valores tabulados para
) para aproximar a área de cauda.
- Uso da tabela por interpolação (explicando o procedimento): na tabela de
para usualmente aparecem valores críticos para caudas específicas. Por exemplo (valores da tabela): - para uma cauda de
temos , - para uma cauda de
temos .
Nosso valorestá entre e . Interpolando linearmente entre essas duas entradas obtemos uma estimativa da probabilidade de cauda.
- para uma cauda de
- Fazendo a interpolação:
A diferença de probabilidades entre 0{,}10 e 0{,}05 é 0{,}05, então a probabilidade de cauda associada a
é aproximadamente
Portanto
Passo 5
Caso 2: probabilidade de
.
- Calcular a estatística
:
- A probabilidade pedida é
- Novamente consultamos a tabela de
para . Valores de referência típicos: - para uma cauda de
temos , - para uma cauda de
temos .
Nossoestá entre esses dois.
- para uma cauda de
- Interpolando:
A diferença de probabilidades entre 0{,}025 e 0{,}01 é 0{,}015, então a probabilidade de cauda associada a
é aproximadamente
Portanto
Passo 6
Interpretação rápida (meio amigo, pra te animar):
- A chance de a média da amostra cair tão baixa quanto
quando a verdadeira média é é pequena, cerca de — é improvável, mas não impossível. - A chance de a média da amostra ultrapassar
quando a média real é é bastante pequena, cerca de . Ou seja, um resultado assim seria bem surpreendente e pode indicar algo diferente do suposto se observado.