Um auditor toma uma amostra de \mathrm{n}=36 de uma população de 1000 contas a receber. O desvio padrão da população é desconhecido, mas o desvio padrão da amostra é US \ 43,00 . Se o verdadeiro valor da média da população de contas a receber ééçãé\mu= US$ 260,00 , qual a probabilidade de que a média da amostra seja menor ou igual a USé$ 250,00 ? E para média da amostra maior que US\é 275,00?

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados e pede duas probabilidades:
  • Tamanho da amostra: n=36.
  • Tamanho da população: N=1000 (informação dada, não necessária para o cálculo da média amostral aqui).
  • Desvio padrão da população: desconhecido.
  • Desvio padrão da amostra: s=\$\,43{,}00 (peguei este valor do enunciado).
  • Verdadeira média populacional: \mu=\$\,260{,}00 (peguei este valor do enunciado).
    As perguntas:
  1. Qual a probabilidade de que a média da amostra seja menor ou igual a \$\,250{,}00, isto é, P(\bar{X}\le 250) supondo \mu=260?
  2. Qual a probabilidade de que a média da amostra seja maior que \$\,275{,}00, isto é, P(\bar{X}>275) supondo \mu=260?

Passo 2

Conceito e escolha do método (explicação didática e passo a passo):
  • Quando a variância populacional é desconhecida (aqui \sigma é desconhecido) e usamos o desvio da amostra s para estimar o erro, a estatística padronizada para a média amostral segue a distribuição t de Student com n-1 graus de liberdade (desde que a amostra venha de uma população aproximadamente normal ou n seja razoavelmente grande).
  • A distribuição amostral da média \bar{X} tem média \mu e erro-padrão (standard error) igual a
SE=\dfrac{s}{\sqrt{n}}.
Aqui s é o desvio padrão amostral, n é o tamanho da amostra.
  • A estatística t correspondente é
t=\dfrac{\bar{X}-\mu}{SE}.
Quando calculamos probabilidades sobre \bar{X} usamos a distribuição t com df=n-1. No nosso caso n=36 então df=35.
  • Resumindo: vamos calcular o erro-padrão, transformar os valores amostrais em estatísticas t e usar a T(35) para obter as probabilidades (usando tabela de t ou aproximação por interpolação).

Passo 3

Calcular o erro-padrão (mostrando cada passo de conta):
SE=\dfrac{s}{\sqrt{n}}=\dfrac{43}{\sqrt{36}}=\dfrac{43}{6}.
Em valor decimal,
SE=\dfrac{43}{6}\approx 7{,}1667.

Passo 4

Caso 1: probabilidade de \bar{X}\le 250.
  • Calcular a estatística t:
t_1=\dfrac{250-\mu}{SE}=\dfrac{250-260}{43/6}=\dfrac{-10}{43/6}=-\dfrac{60}{43}\approx -1{,}3953.
  • A probabilidade pedida é
P(\bar{X}\le 250)=P\!\left(T_{35}\le -1{,}3953\right).
Como a distribuição t é simétrica, isso é igual a P\!\left(T_{35}\ge 1{,}3953\right) no lado positivo, e podemos consultar uma tabela de t (valores tabulados para T_{35}) para aproximar a área de cauda.
  • Uso da tabela por interpolação (explicando o procedimento): na tabela de t para df=35 usualmente aparecem valores críticos para caudas específicas. Por exemplo (valores da tabela):
    • para uma cauda de 0{,}10 temos t\approx 1{,}306,
    • para uma cauda de 0{,}05 temos t\approx 1{,}690.
      Nosso valor 1{,}3953 está entre 1{,}306 e 1{,}690. Interpolando linearmente entre essas duas entradas obtemos uma estimativa da probabilidade de cauda.
  • Fazendo a interpolação:
\text{fração}=\dfrac{1{,}3953-1{,}306}{1{,}690-1{,}306}=\dfrac{0{,}0893}{0{,}384}\approx 0{,}2327.çã
A diferença de probabilidades entre 0{,}10 e 0{,}05 é 0{,}05, então a probabilidade de cauda associada a t=1{,}3953 é aproximadamente
0{,}10 - 0{,}2327\cdot 0{,}05 \approx 0{,}10 - 0{,}0116 = 0{,}0884.
Portanto
P(\bar{X}\le 250)\approx 0{,}0884\quad(\text{aprox. }8{,}84\%).

Passo 5

Caso 2: probabilidade de \bar{X}>275.
  • Calcular a estatística t:
t_2=\dfrac{275-\mu}{SE}=\dfrac{275-260}{43/6}=\dfrac{15}{43/6}=\dfrac{90}{43}\approx 2{,}0930.
  • A probabilidade pedida é
P(\bar{X}>275)=P\!\left(T_{35}>2{,}0930\right).
  • Novamente consultamos a tabela de t para df=35. Valores de referência típicos:
    • para uma cauda de 0{,}025 temos t\approx 2{,}030,
    • para uma cauda de 0{,}01 temos t\approx 2{,}438.
      Nosso t=2{,}0930 está entre esses dois.
  • Interpolando:
\text{fração}=\dfrac{2{,}0930-2{,}030}{2{,}438-2{,}030}=\dfrac{0{,}0630}{0{,}408}\approx 0{,}1545.çã
A diferença de probabilidades entre 0{,}025 e 0{,}01 é 0{,}015, então a probabilidade de cauda associada a t=2{,}0930 é aproximadamente
0{,}025 - 0{,}1545\cdot 0{,}015 \approx 0{,}025 - 0{,}00232 = 0{,}02268.
Portanto
P(\bar{X}>275)\approx 0{,}0227\quad(\text{aprox. }2{,}27\%).

Passo 6

Interpretação rápida (meio amigo, pra te animar):
  • A chance de a média da amostra cair tão baixa quanto \$250 quando a verdadeira média é \$260 é pequena, cerca de 8{,}8\% — é improvável, mas não impossível.
  • A chance de a média da amostra ultrapassar \$275 quando a média real é \$260 é bastante pequena, cerca de 2{,}3\%. Ou seja, um resultado assim seria bem surpreendente e pode indicar algo diferente do suposto \mu se observado.

Resposta

P(\bar{X}\le 250)\approx 0{,}0884 (aprox. 8{,}84\%)
P(\bar{X}>275)\approx 0{,}0227 (aprox. 2{,}27\%)

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