Um analista de sistemas está avaliando o desempenho de um novo programa de análise numérica. Forneceu como entrada do programa 14 operações similares e obteve os seguintes tempos de processamento (em milissegundos):
12,0
13,5
16,0
15,7
15,8
16,5
15,0
13,1
15,2
18,1
18,5
12,3
17,5
17,0
Calcule a média e o desvio padrão da amostra do tempo de processamento.
12,0 | 13,5 | 16,0 | 15,7 | 15,8 | 16,5 | 15,0 | 13,1 |
15,2 | 18,1 | 18,5 | 12,3 | 17,5 | 17,0 |
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de estatística onde um analista de sistemas coletou os tempos de processamento de um programa: 14 valores em milissegundos. O que precisamos fazer é calcular a média e o desvio padrão dessa amostra. Para isso, vamos usar conceitos básicos de estatística descritiva. Vamos em frente!
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a média dos tempos de processamento. A média é basicamente o valor típico da nossa amostra, que encontramos somando todos os valores e dividindo pela quantidade total de valores.
A fórmula da média é:
Onde:
- $ \bar{x} $ é a média,
- $ n $ é o número de observações,
- $ x_i $ são os valores individuais.
Passo 3
Vamos somar todos os tempos de processamento:
12,0 + 13,5 + 16,0 + 15,7 + 15,8 + 16,5 + 15,0 + 13,1 + 15,2 + 18,1 + 18,5 + 12,3 + 17,5 + 17,0
Vamos fazer isso passo a passo:
- 12,0 + 13,5 = 25,5
- 25,5 + 16,0 = 41,5
- 41,5 + 15,7 = 57,2
- 57,2 + 15,8 = 73,0
- 73,0 + 16,5 = 89,5
- 89,5 + 15,0 = 104,5
- 104,5 + 13,1 = 117,6
- 117,6 + 15,2 = 132,8
- 132,8 + 18,1 = 150,9
- 150,9 + 18,5 = 169,4
- 169,4 + 12,3 = 181,7
- 181,7 + 17,5 = 199,2
- 199,2 + 17,0 = 216,2
Então, a soma total é 216,2 milissegundos.
Passo 4
Agora, vamos calcular a média dividindo essa soma pelo número de observações. Temos 14 tempos de processamento.
Então, a média dos tempos de processamento é aproximadamente 15,44 ms.
Passo 5
Agora, vamos calcular o desvio padrão da amostra. O desvio padrão nos mostra o quanto os valores estão espalhados em relação à média. Quanto maior o desvio padrão, mais dispersos estão os dados.
A fórmula do desvio padrão da amostra é:
Onde:
- $ s $ é o desvio padrão,
- $ n $ é o número de observações,
- $ x_i $ são os valores individuais,
- $ \bar{x} $ é a média.
Passo 6
Primeiro, vamos calcular a diferença de cada valor em relação à média e depois elevar ao quadrado:
- $ (12,0 - 15,44)^2 = (-3,44)^2 = 11,83 $
- $ (13,5 - 15,44)^2 = (-1,94)^2 = 3,76 $
- $ (16,0 - 15,44)^2 = (0,56)^2 = 0,31 $
- $ (15,7 - 15,44)^2 = (0,26)^2 = 0,07 $
- $ (15,8 - 15,44)^2 = (0,36)^2 = 0,13 $
- $ (16,5 - 15,44)^2 = (1,06)^2 = 1,12 $
- $ (15,0 - 15,44)^2 = (-0,44)^2 = 0,19 $
- $ (13,1 - 15,44)^2 = (-2,34)^2 = 5,48 $
- $ (15,2 - 15,44)^2 = (-0,24)^2 = 0,06 $
- $ (18,1 - 15,44)^2 = (2,66)^2 = 7,07 $
- $ (18,5 - 15,44)^2 = (3,06)^2 = 9,36 $
- $ (12,3 - 15,44)^2 = (-3,14)^2 = 9,86 $
- $ (17,5 - 15,44)^2 = (2,06)^2 = 4,24 $
- $ (17,0 - 15,44)^2 = (1,56)^2 = 2,43 $
Passo 7
Agora, vamos somar todos esses valores quadrados:
11,83 + 3,76 + 0,31 + 0,07 + 0,13 + 1,12 + 0,19 + 5,48 + 0,06 + 7,07 + 9,36 + 9,86 + 4,24 + 2,43
Vamos somar passo a passo:
- 11,83 + 3,76 = 15,59
- 15,59 + 0,31 = 15,90
- 15,90 + 0,07 = 15,97
- 15,97 + 0,13 = 16,10
- 16,10 + 1,12 = 17,22
- 17,22 + 0,19 = 17,41
- 17,41 + 5,48 = 22,89
- 22,89 + 0,06 = 22,95
- 22,95 + 7,07 = 30,02
- 30,02 + 9,36 = 39,38
- 39,38 + 9,86 = 49,24
- 49,24 + 4,24 = 53,48
- 53,48 + 2,43 = 55,91
Então, a soma dos quadrados das diferenças é 55,91.
Passo 8
Agora, vamos aplicar a fórmula do desvio padrão:
Então, o desvio padrão dos tempos de processamento é aproximadamente 2,07 ms.
Resposta
A média dos tempos de processamento é 15,44 milissegundos e o desvio padrão é 2,07 milissegundos.