Uma unidade fabril da Intel produziu 500.000 chips Pentium IV em certo período. São selecionados, aleatoriamente, 400 chips para testes.
Verificar se essa amostra é suficiente para obter um intervalo de 99 % de confiança, com erro amostral máximo de 0,5 %, para a proporção de chips adequados. Caso contrário, qual deveria ser o tamanho da amostra?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A Intel produziu 500.000 chips Pentium IV e selecionou aleatoriamente 400 deles para testar. A gente quer saber se esses 400 chips são suficientes para determinar, com 99% de confiança, a proporção de chips que estão adequados, com um erro máximo de 0,5%. Se não for suficiente, qual deveria ser o tamanho da amostra? Aqui, vamos usar conceitos de Intervalo de Confiança e Tamanho da Amostra para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar a fórmula para calcular o tamanho da amostra necessário para estimar uma proporção com um determinado nível de confiança e margem de erro. A fórmula básica é:
n = ( Z^2 cdot p cdot (1 - p)E^2 )
Onde:
  • $ n $ é o tamanho da amostra.
  • $ Z $ é o valor crítico da distribuição normal correspondente ao nível de confiança desejado.
  • $ p $ é a proporção estimada da característica de interesse (nesse caso, chips adequados).
  • $ E $ é a margem de erro máxima permitida.

Passo 3

Como a proporção $ p $ não é conhecida antes dos testes, usamos $ p = 0,5 $ para garantir a amostra máxima necessária, já que $ p(1 - p) $ é máximo quando $ p = 0,5 $. Então, substituindo $ p = 0,5 $:
p

Passo 4

Agora, vamos identificar o valor de $ Z $ para um nível de confiança de 99%. A tabela da distribuição normal mostra que para 99% de confiança, $ Z $ é aproximadamente 2,576.
E a margem de erro $ E $ é de 0,5%, ou seja, 0,005.
Substituindo esses valores na fórmula:
Z

Passo 5

Vamos calcular passo a passo:
Primeiro, calcule $ 2,576^2 $:
2,576^2
Agora, multiplique por 0,25:
2,576^2 approx 6,635
E divida por $ 0,005^2 = 0,000025 $:
6,635 cdot 0,25 = 1,65875
Então, o tamanho da amostra necessário seria de aproximadamente 66.350 chips.

Passo 6

Mas espera aí! Nosso universo é finito, com 500.000 chips. Quando a população é finita, precisamos ajustar o tamanho da amostra usando o Fator de Correção de População Finita (FCPF):
najustado = n1 + ( n - 1N )
Onde:
  • $ N $ é o tamanho da população, 500.000.
  • $ n $ é o tamanho da amostra calculado anteriormente, 66.350.
Substituindo:
N
Então, o tamanho da amostra ajustado é de aproximadamente 58.517 chips.

Passo 7

Agora, vamos comparar esse valor com a amostra que a Intel selecionou, que foi de 400 chips. Claramente, 400 é muito menor que os cerca de 58.517 chips necessários para atender aos critérios de 99% de confiança e erro máximo de 0,5%.

Resposta

Não, a amostra de 400 chips não é suficiente. Para obter um intervalo de confiança de 99% com erro máximo de 0,5%, o tamanho da amostra necessário seria aproximadamente 58.517 chips.

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