Um epidemiologista quer estudar os efeitos de duas vacinas anti-rábicas para verificar qual é a mais efetiva. Ele dividiu um grupo de indivíduos que já foram vacinados anteriormente contra a raiva em duas amostras. Os indivíduos da amostra 1 receberam uma dose extra da vacina do tipo 1 e os indivíduos da amostra 2 receberam uma dose extra da vacina do tipo 2 . As respostas dos anti-corpos foram medidas duas semanas depois, resultando nos seguintes dados (unidades arbitrárias):
Amostra |
|
|
|
---|---|---|---|
1 | 10 | 4,5 | 2,5 |
2 | 9 | 2,5 | 2,0 |
O epidemiologista pode concluir que a vacina 1 é mais eficaz que a vacina 2? Considere
. Assuma que as variâncias populacionais são iguais.
Passo 1
Então, vamos lá! Você tem um problema de estatística onde um epidemiologista quer descobrir qual das duas vacinas anti-rábicas é mais eficaz. Para isso, ele deu uma dose extra da vacina tipo 1 para 10 pessoas (amostra 1) e uma dose extra da vacina tipo 2 para 9 pessoas (amostra 2). Duas semanas depois, ele mediu as respostas dos anticorpos nas duas amostras. A gente precisa analisar esses dados para ver se a vacina 1 é realmente mais eficaz que a vacina 2, usando um nível de significância de 5% (
) e assumindo que as variâncias das populações são iguais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa “assumir que as variâncias populacionais são iguais”. Isso quer dizer que a variação das respostas dos anticorpos nas duas vacinas não é significativamente diferente. Com essa informação, podemos usar o teste t para duas amostras com variâncias iguais.
Passo 3
Vamos organizar os dados:
- Amostra 1: n₁ = 10, média (
) = 4,5, desvio padrão (s₁) = 2,5 - Amostra 2: n₂ = 9, média (
) = 2,5, desvio padrão (s₂) = 2,0
Passo 4
Nosso objetivo é verificar se a média da amostra 1 é significativamente maior que a média da amostra 2. Isso é uma hipótese unilateral. Vamos formular as hipóteses:
- Hipótese nula (H₀):
(não há diferença na eficácia) - Hipótese alternativa (H₁):
(vacina 1 é mais eficaz)
Passo 5
Como as variâncias são iguais, calculamos a variância combinada (
):
Substituindo os valores:
Passo 6
O erro padrão da diferença entre as médias é calculado por:
Passo 7
Agora, calculamos o valor t da estatística de teste:
Passo 8
Determinar os graus de liberdade (df):
Passo 9
Com
e
, vamos encontrar o valor crítico para um teste unilateral com
. Consultando a tabela t de Student, encontramos que o valor crítico é aproximadamente 1,739.
Passo 10
Comparamos o valor calculado de t com o valor crítico:
Como o valor calculado de t é maior que o valor crítico, rejeitamos a hipótese nula.
Resposta
Sim, com um nível de significância de 5%, há evidências estatísticas suficientes para concluir que a vacina 1 é mais eficaz que a vacina 2.