Um epidemiologista quer estudar os efeitos de duas vacinas anti-rábicas para verificar qual é a mais efetiva. Ele dividiu um grupo de indivíduos que já foram vacinados anteriormente contra a raiva em duas amostras. Os indivíduos da amostra 1 receberam uma dose extra da vacina do tipo 1 e os indivíduos da amostra 2 receberam uma dose extra da vacina do tipo 2 . As respostas dos anti-corpos foram medidas duas semanas depois, resultando nos seguintes dados (unidades arbitrárias):
Amostra n barx s
1 10 4,5 2,5
2 9 2,5 2,0
O epidemiologista pode concluir que a vacina 1 é mais eficaz que a vacina 2? Considere alpha=0,05. Assuma que as variâncias populacionais são iguais.

Passo 1

Então, vamos lá! Você tem um problema de estatística onde um epidemiologista quer descobrir qual das duas vacinas anti-rábicas é mais eficaz. Para isso, ele deu uma dose extra da vacina tipo 1 para 10 pessoas (amostra 1) e uma dose extra da vacina tipo 2 para 9 pessoas (amostra 2). Duas semanas depois, ele mediu as respostas dos anticorpos nas duas amostras. A gente precisa analisar esses dados para ver se a vacina 1 é realmente mais eficaz que a vacina 2, usando um nível de significância de 5% ( alpha = 0,05) e assumindo que as variâncias das populações são iguais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa “assumir que as variâncias populacionais são iguais”. Isso quer dizer que a variação das respostas dos anticorpos nas duas vacinas não é significativamente diferente. Com essa informação, podemos usar o teste t para duas amostras com variâncias iguais.

Passo 3

Vamos organizar os dados:
  • Amostra 1: n₁ = 10, média ( barx1) = 4,5, desvio padrão (s₁) = 2,5
  • Amostra 2: n₂ = 9, média ( barx2) = 2,5, desvio padrão (s₂) = 2,0

Passo 4

Nosso objetivo é verificar se a média da amostra 1 é significativamente maior que a média da amostra 2. Isso é uma hipótese unilateral. Vamos formular as hipóteses:
  • Hipótese nula (H₀): mu1 = mu2 (não há diferença na eficácia)
  • Hipótese alternativa (H₁): mu1 > mu2 (vacina 1 é mais eficaz)

Passo 5

Como as variâncias são iguais, calculamos a variância combinada ( sp^2):
sp^2 = (n1 - 1)s1^2 + (n2 - 1)s2^2n1 + n2 - 2
Substituindo os valores:
sp^2 = (10 - 1)(2,5)^2 + (9 - 1)(2,0)^210 + 9 - 2 = 9 times 6,25 + 8 times 417 = 56,25 + 3217 = 88,2517 approx 5,19

Passo 6

O erro padrão da diferença entre as médias é calculado por:
SE = raizsp^2 (1n1 + 1n2) = raiz5,19 (110 + 19) = raiz5,19 times (0,1 + 0,1111) = raiz5,19 times 0,2111 approx raiz1,096 approx 1,046

Passo 7

Agora, calculamos o valor t da estatística de teste:
t = barx1 - barx2SE = 4,5 - 2,51,046 = 21,046 approx 1,915

Passo 8

Determinar os graus de liberdade (df):
df = n1 + n2 - 2 = 10 + 9 - 2 = 17

Passo 9

Com t approx 1,915 e df = 17, vamos encontrar o valor crítico para um teste unilateral com alpha = 0,05. Consultando a tabela t de Student, encontramos que o valor crítico é aproximadamente 1,739.

Passo 10

Comparamos o valor calculado de t com o valor crítico:
1,915 > 1,739
Como o valor calculado de t é maior que o valor crítico, rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Sim, com um nível de significância de 5%, há evidências estatísticas suficientes para concluir que a vacina 1 é mais eficaz que a vacina 2.

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