Um analista de sistemas está avaliando o desempenho de um novo programa de análise numérica. Forneceu como entrada do programa 14 operações similares e obteve os seguintes tempos de processamento (em milissegundos):
12,0 13,5 16,0 15,7 15,8 16,5 15,0 13,1
15,2 18,1 18,5 12,3 17,5 17,0
Construir um intervalo de confiança para o tempo médio de processamento, com nível de confiança de 95 llllllll 12,0 & 13,5 & 16,0 & 15,7 & 15,8 & 16,5 & 15,0 & 13,1 15,2 & 18,1 & 18,5 & 12,3 & 17,5 & 17,0 & & .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que fala sobre avaliar o desempenho de um programa de análise numérica. O analista rodou 14 operações similares e registrou os tempos de processamento em milissegundos. O nosso objetivo aqui é construir um intervalo de confiança de 95% para o tempo médio de processamento desse programa. Para fazer isso, vamos usar conceitos de estatística, especificamente sobre intervalos de confiança para a média quando temos uma amostra pequena (menos de 30 dados).

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados que temos:
12,0; 13,5; 16,0; 15,7; 15,8; 16,5; 15,0; 13,1; 15,2; 18,1; 18,5; 12,3; 17,5; 17,0.

Passo 3

Vamos calcular a média ( barx) desses tempos. A média é a soma de todos os valores dividida pela quantidade de valores.
barx = 12,0 + 13,5 + 16,0 + 15,7 + 15,8 + 16,5 + 15,0 + 13,1 + 15,2 + 18,1 + 18,5 + 12,3 + 17,5 + 17,014
Somando os valores:
12,0 + 13,5 = 25,5 25,5 + 16,0 = 41,5 41,5 + 15,7 = 57,2 57,2 + 15,8 = 73,0 73,0 + 16,5 = 89,5 89,5 + 15,0 = 104,5 104,5 + 13,1 = 117,6 117,6 + 15,2 = 132,8 132,8 + 18,1 = 150,9 150,9 + 18,5 = 169,4 169,4 + 12,3 = 181,7 181,7 + 17,5 = 199,2 199,2 + 17,0 = 216,2
Agora, dividimos pela quantidade de dados (14):
barx = 216,214 approx 15,44 ms

Passo 4

Agora, vamos calcular o desvio padrão ( s) da amostra. O desvio padrão nos mostra o quanto os dados estão dispersos em relação à média.
Primeiro, calculamos cada diferença entre os valores e a média, elevamos ao quadrado, somamos tudo e dividimos por n-1, onde n é o número de dados.
s = raizsum (xi - barx)^2n-1
Vamos calcular cada (xi - barx)^2:
(12,0 - 15,44)^2 = ( -3,44 )^2 approx 11,83 (13,5 - 15,44)^2 approx ( -1,94 )^2 approx 3,76 (16,0 - 15,44)^2 approx 0,56^2 approx 0,31 (15,7 - 15,44)^2 approx 0,26^2 approx 0,07 (15,8 - 15,44)^2 approx 0,36^2 approx 0,13 (16,5 - 15,44)^2 approx 1,06^2 approx 1,12 (15,0 - 15,44)^2 approx (-0,44)^2 approx 0,19 (13,1 - 15,44)^2 approx (-2,34)^2 approx 5,48 (15,2 - 15,44)^2 approx (-0,24)^2 approx 0,06 (18,1 - 15,44)^2 approx 2,66^2 approx 7,07 (18,5 - 15,44)^2 approx 3,06^2 approx 9,36 (12,3 - 15,44)^2 approx (-3,14)^2 approx 9,86 (17,5 - 15,44)^2 approx 2,06^2 approx 4,24 (17,0 - 15,44)^2 approx 1,56^2 approx 2,43
Somando todos esses valores:
11,83 + 3,76 + 0,31 + 0,07 + 0,13 + 1,12 + 0,19 + 5,48 + 0,06 + 7,07 + 9,36 + 9,86 + 4,24 + 2,43 approx 55,00
Agora, dividimos por n-1 = 14-1 = 13:
s = raiz55,0013 approx raiz4,23 approx 2,06 ms

Passo 5

Vamos determinar o valor crítico da distribuição t para um nível de confiança de 95% e$ n-1 = 13 $ graus de liberdade. Esse valor nos ajuda a determinar a margem de erro.
Consultando uma tabela t ou usando uma calculadora estatística, encontramos que para 95% de confiança e 13 graus de liberdade, o valor t é aproximadamente 2,160.

Passo 6

Agora, vamos calcular a margem de erro ( E) usando a fórmula:
E = t times sraizn
Onde:
  • $ t = 2,160 $
  • $ s = 2,06 $
  • $ n = 14 $
Primeiro, calculamos t = 2,160 :
s = 2,06
Agora, multiplicamos pelo valor t:
n = 14

Passo 7

Finalmente, construímos o intervalo de confiança usando a média e a margem de erro:
barx pm E = 15,44 pm 1,19
Isso resulta em:
15,44 - 1,19 = 14,25 ms 15,44 + 1,19 = 16,63 ms

Resposta

O intervalo de confiança de 95% para o tempo médio de processamento é entre 14,25 ms e 16,63 ms.

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