Um personal trainer garante que uma pessoa que faça ginástica sob a sua supervisão por um mês perderá peso sem necessitar fazer qualquer tipo de dieta especial. Para testar a afirmação do personal trainer, seleciona-se uma amostra de 7 pessoas e toma-se os seus pesos antes do início do programa de ginásticas. As 7 pessoas são então submetidas ao treinamento oferecido pelo personal trainer durante 1 mês, com a recomendação de não alterar seus hábitos alimentares nem seu modo de vida. Após o mês de treinamento, os pesos das 7 pessoas são novamente medidos, resultando na tabela abaixo.
Individuo 1 2 3 4 5 6
Peso antes <br> (kg) 94 81 65 70 83 72 69
Peso depois <br> (kg) 93,5 80 65 70 80 74 65
Pode-se concluir, baseado nestes dados e com um índice de significância alpha=0,05, que a afirmação do personal trainer é correta?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre testar se um personal trainer realmente ajuda as pessoas a perderem peso em um mês, sem mudar a dieta. Para isso, a gente tem os pesos de 7 pessoas antes e depois de um mês de treino. Usaremos teste t para amostras pareadas para comparar os pesos antes e depois. Precisaremos calcular as diferenças individuais, a média dessas diferenças, o desvio padrão e usar a distribuição t para ver se a perda de peso é estatisticamente significativa com um nível de confiança de 95% ( alpha=0,05).

Passo 2

Primeiro, vamos listar os pesos antes e depois do treino:
Indivíduo Peso antes (kg) Peso depois (kg)
1 94 93,5
2 81 80
3 65 65
4 70 70
5 83 80
6 72 74
7 69 65
Agora, vamos calcular a diferença de peso para cada indivíduo: Diferença = Peso antes - Peso depois.

Passo 3

Calculando as diferenças:
Indivíduo Peso antes (kg) Peso depois (kg) Diferença (kg)
1 94 93,5 0,5
2 81 80 1
3 65 65 0
4 70 70 0
5 83 80 3
6 72 74 -2
7 69 65 4

Passo 4

Agora, vamos calcular a média das diferenças ( d):
d = 0,5 + 1 + 0 + 0 + 3 - 2 + 47 = 6,57 approx 0,93 , kg
Isso significa que, em média, as pessoas perderam cerca de 0,93 kg após o treino.

Passo 5

Vamos calcular o desvio padrão das diferenças ( sd). Primeiro, precisamos das diferenças individuais menos a média:
Indivíduo Diferença (kg) Diferença - Média ( di - d) (di - d)^2
1 0,5 0,5 - 0,93 = -0,43 0,185
2 1 1 - 0,93 = 0,07 0,005
3 0 0 - 0,93 = -0,93 0,865
4 0 0 - 0,93 = -0,93 0,865
5 3 3 - 0,93 = 2,07 4,281
6 -2 -2 - 0,93 = -2,93 8,580
7 4 4 - 0,93 = 3,07 9,424
Somando as variâncias:
sum (di - d)^2 = 0,185 + 0,005 + 0,865 + 0,865 + 4,281 + 8,580 + 9,424 = 23,204
Agora, calculamos o desvio padrão:
sd = raizsum (di - d)^2n - 1 = raiz23,2046 approx raiz3,867 approx 1,966 , kg

Passo 6

Com a média das diferenças ( d approx 0,93 kg) e o desvio padrão ( sd approx 1,966 kg), podemos calcular o estatístico t usando a fórmula:
t = dsd / raizn = 0,931,966 / raiz7 approx 0,930,742 approx 1,253

Passo 7

Agora, precisamos encontrar o valor crítico de t para nosso teste. Como estamos testando se houve perda de peso, é um teste bilateral (pois pode haver ganho ou perda). Com n - 1 = 6 graus de liberdade e alpha = 0,05, o valor crítico de t é aproximadamente 2,447.

Passo 8

Comparamos o valor calculado de t (1,253) com o valor crítico (2,447):
  • Se |t| > tcríticoí, rejeitamos a hipótese nula.
  • Aqui, 1,253 < 2,447, então não rejeitamos a hipótese nula.

Passo 9

Conclusão: Não há evidências suficientes para confirmar que o personal trainer ajuda na perda de peso de forma significativa com o nível de confiança de 95%.

Resposta

Com base nos dados e no teste realizado, não podemos concluir que a afirmação do personal trainer é correta para o nível de significância de alpha = 0,05.

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