Um analista de sistemas está avaliando o desempenho de um novo programa de análise numérica. Forneceu como entrada do programa 14 operações similares e obteve os seguintes tempos de processamento (em milissegundos):
12,0 13,5 16,0 15,7 15,8 16,5 15,0 13,1
15,2 18,1 18,5 12,3 17,5 17,0
Qual deve ser o tamanho da amostra para garantir um erro amostral máximo de 0,5 milissegundo, na estimação do tempo médio de processamento, com nível de confiança de llllllll 12,0 & 13,5 & 16,0 & 15,7 & 15,8 & 16,5 & 15,0 & 13,1 15,2 & 18,1 & 18,5 & 12,3 & 17,5 & 17,0 & & ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício sobre estatística, especificamente sobre como determinar o tamanho da amostra necessário para estimar a média do tempo de processamento de um programa com certa precisão e confiança. O que precisamos para resolver isso são os conceitos de intervalo de confiança, erro amostral, e tamanho da amostra. Vamos calcular isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos coletar os dados que você forneceu sobre os tempos de processamento (em milissegundos):
12,0 ; 13,5 ; 16,0 ; 15,7 ; 15,8 ; 16,5 ; 15,0 ; 13,1 ; 15,2 ; 18,1 ; 18,5 ; 12,3 ; 17,5 ; 17,0
Esses são 14 valores que vamos usar para calcular a média e o desvio padrão, que são essenciais para determinar o tamanho da amostra.

Passo 3

Vamos calcular a média ( barx) desses tempos. A média é a soma de todos os valores dividida pelo número de valores:
barx = 12,0 + 13,5 + 16,0 + 15,7 + 15,8 + 16,5 + 15,0 + 13,1 + 15,2 + 18,1 + 18,5 + 12,3 + 17,5 + 17,014
Somando todos esses valores:
barx = 12,0 + 13,5 + 16,0 + 15,7 + 15,8 + 16,5 + 15,0 + 13,1 + 15,2 + 18,1 + 18,5 + 12,3 + 17,5 + 17,014 = 216,714 approx 15,48 ms

Passo 4

Agora, vamos calcular o desvio padrão ( s) da amostra, que nos dá uma ideia de quão dispersos estão os tempos de processamento em relação à média. A fórmula do desvio padrão para uma amostra é:
s = raizsum (xi - barx)^2n - 1
Vamos calcular cada termo (xi - barx)^2:
(12,0 - 15,48)^2 &= 12,15 (13,5 - 15,48)^2 &= 3,92 (16,0 - 15,48)^2 &= 0,27 (15,7 - 15,48)^2 &= 0,05 (15,8 - 15,48)^2 &= 0,10 (16,5 - 15,48)^2 &= 1,04 (15,0 - 15,48)^2 &= 0,23 (13,1 - 15,48)^2 &= 5,94 (15,2 - 15,48)^2 &= 0,07 (18,1 - 15,48)^2 &= 6,47 (18,5 - 15,48)^2 &= 9,07 (12,3 - 15,48)^2 &= 10,20 (17,5 - 15,48)^2 &= 4,04 (17,0 - 15,48)^2 &= 2,28
Somando todos esses valores:
12,15 + 3,92 + 0,27 + 0,05 + 0,10 + 1,04 + 0,23 + 5,94 + 0,07 + 6,47 + 9,07 + 10,20 + 4,04 + 2,28 = 55,76
Agora, dividimos essa soma por n - 1, que é 14 - 1 = 13:
s = raiz55,7613 approx raiz4,29 approx 2,07 ms

Passo 5

Vamos agora identificar o nível de confiança desejado, que é de 99%. Para esse nível de confiança, precisamos encontrar o valor crítico z que corresponde a esse nível. Usando a tabela de distribuição normal padrão, o valor z para 99% de confiança é aproximadamente:
z = 2,576

Passo 6

Queremos um erro amostral máximo ( E) de 0,5 milissegundos. A fórmula para determinar o tamanho da amostra ( n) é:
n = ( z times sE )^2
Substituindo os valores que temos:
n = ( 2,576 times 2,070,5 )^2
Primeiro, multiplicamos z e s:
2,576 times 2,07 approx 5,33
Agora, dividimos pelo erro amostral E:
5,330,5 = 10,66
Finalmente, elevamos ao quadrado:
n = (10,66)^2 approx 113,64

Resposta

O tamanho da amostra necessário é de pelo menos 114 operações.

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