Os analistas financeiros de uma empresa chegaram a um modelo matemático que permite calcular a arrecadação mensal da empresa ao longo de 24 meses, por meio da função
A(x)=x^33-11 x^2+117 x+124
em que 0 <= x <= 24 é o tempo, em meses, e a arrecadação A(x) é dada em milhões de reais. A arrecadação da empresa começou a decrescer e, depois, retomou o crescimento, respectivamente, a partir dos meses
x=8 e x=16.

Passo 1

O enunciado nos dá a arrecadação mensal da empresa modelada por
A(x)=x^33-11x^2+117x+124
para 0<= x<=24. Ele afirma que a arrecadação “começou a decrescer” em x=8 meses e “retomou o crescimento” em x=16 meses. Para verificar essa informação, precisamos estudar os intervalos de crescimento e decrescimento de A, ou seja, calcular sua derivada, achar os pontos críticos e analisar o sinal de A'.

Passo 2

Vamos calcular a derivada de A(x). Como
A(x)=x^33-11x^2+117x+124,
temos
A'(x)=ddxl(x^33r)-ddx(11x^2)+ddx(117x)+ddx(124) =x^2-22x+117

Passo 3

Os pontos críticos satisfazem A'(x)=0. Logo, resolvemos
x^2-22x+117=0
O discriminante é
De<a = (-22)^2-4cdot1cdot117=484-468=16,
de onde as raízes são
x=22pmraiz162=22pm42,
ou seja
x1=9, x2=13

Passo 4

Para determinar onde A cresce ou decresce, examinamos o sinal de A'(x)=x^2-22x+117. Como x^2-22x+117 é um polinômio de grau 2 com coeficiente positivo, temos:
  • A'(x)>0 para x<9, logo A cresce em [0,9).
  • A'(x)<0 para 9<x<13, logo A decresce em (9,13).
  • A'(x)>0 para x>13, logo A cresce em (13,24].

Passo 5

Comparando com a afirmação do enunciado, vemos que a arrecadação começa a decrescer não em x=8 meses, mas em x=9 meses, e retoma o crescimento em x=13 meses.

Resposta

A arrecadação começa a decrescer em x=9 meses e retoma o crescimento em x=13 meses.

Exercícios relacionados