Seja
uma função e sejam
e
. Mostre que:
se
, então
.
se
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para mostrar que se o conjunto
está contido em
(ou seja,
), então a imagem de
pela função
também está contida na imagem de
pela mesma função
(ou seja,
). Para isso, vamos usar conceitos de funções e conjuntos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso quer dizer que todo elemento que está em
também está em
. Então, se pegarmos qualquer elemento
que pertence a
, automaticamente
também pertence a
.
Passo 3
Agora, vamos pensar na imagem desses conjuntos pela função
. A imagem de
, escrita como
, é o conjunto de todos os elementos
onde
pertence a
. Da mesma forma,
é o conjunto de todos os
onde
está em
.
Passo 4
Como todo elemento
de
também está em
(porque
), quando aplicamos
a esses elementos, os
correspondentes que estão em
também estarão em
.
Passo 5
Isso significa que cada elemento de
tem um correspondente em
, ou seja,
. Não existe nenhum elemento em
que não esteja também em
.
Resposta
Portanto, mostramos que se
, então
.