Seja f: X Y uma função e sejam A, B subseteq X e C, D subseteq Y. Mostre que:
se A subseteq B, então f(A) subseteq f(B).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para mostrar que se o conjunto A está contido em B (ou seja, A subseteq B ), então a imagem de A pela função f também está contida na imagem de B pela mesma função f (ou seja, f(A) subseteq f(B) ). Para isso, vamos usar conceitos de funções e conjuntos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa A subseteq B . Isso quer dizer que todo elemento que está em A também está em B . Então, se pegarmos qualquer elemento x que pertence a A , automaticamente x também pertence a B .

Passo 3

Agora, vamos pensar na imagem desses conjuntos pela função f . A imagem de A , escrita como f(A) , é o conjunto de todos os elementos f(x) onde x pertence a A . Da mesma forma, f(B) é o conjunto de todos os f(x) onde x está em B .

Passo 4

Como todo elemento x de A também está em B (porque A subseteq B ), quando aplicamos f a esses elementos, os f(x) correspondentes que estão em f(A) também estarão em f(B) .

Passo 5

Isso significa que cada elemento de f(A) tem um correspondente em f(B) , ou seja, f(A) subseteq f(B) . Não existe nenhum elemento em f(A) que não esteja também em f(B) .

Resposta

Portanto, mostramos que se A subseteq B , então f(A) subseteq f(B) .

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