As inversas das funções hiperbolicas são definidas por:
a) y=argsenh(x) se, e somente se, senh(y)=x.
b) y=argcosh(x) se, e somente se, cosh (y)=x.
c) y=ar>gh(x) se, e somente se, tgh(y)=x.
d) y=argcotgh(x) se, e somente se, cotgh(y)=x.
e) y=argsech(x) se, e somente se, sech(y)=x.
f) y=argcosech(x) se, e somente se, cosech(y)=x.
I) Verifique que:
d) argcotgh(x)=ln (raizx+1x-1),|x|>1

Passo 1

O enunciado pede verificar que argcotgh(x)=lnraizx+1x-1 para lvert xrvert>1. Isso significa encontrar y tal que
coth(y)=x
Usaremos a definição em termos de exponenciais
coth(y)=e^y+e^-ye^y-e^-y
e resolveremos essa equação para y.

Passo 2

Igualando coth(y)=x e substituindo a forma exponencial, temos
e^y+e^-ye^y-e^-y = x
Multiplicando ambos os lados por e^y - e^-y e reorganizando, obtemos
e^y + e^-y = xl(e^y - e^-yr) Longrightarrow e^y + e^-y = x e^y - x e^-y Longrightarrow (1 - x),e^y + (1 + x),e^-y = 0

Passo 3

Isolamos e^2y. Do passo anterior,
(1 - x),e^y = -,(1 + x),e^-y Longrightarrow e^2y = 1+xx-1
Como lvert xrvert>1, o quociente x+1x-1 é positivo, garantindo e^2y>0.

Passo 4

Tomando logaritmo natural em ambos os lados e dividindo por 2, vem
y = 12ln!l(x+1x-1r) = lnraizx+1x-1
Portanto
argcotgh(x)=lnraizx+1x-1, lvert xrvert>1

Resposta

argcotgh(x)=lnraizx+1x-1,;|x|>1

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