As inversas das funções hiperbolicas são definidas por:
a) y=argsenh(x) se, e somente se, senh(y)=x.
b) y=argcosh(x) se, e somente se, cosh (y)=x.
c) y=ar>gh(x) se, e somente se, tgh(y)=x.
d) y=argcotgh(x) se, e somente se, cotgh(y)=x.
e) y=argsech(x) se, e somente se, sech(y)=x.
f) y=argcosech(x) se, e somente se, cosech(y)=x.
I) Verifique que:
e) argsech(x)=ln (1+raiz1-x^2x), x in(0,1]

Passo 1

Pelo enunciado temos a definição
y = argsech(x) Long<=ftrightarrow sech(y)=x,
e o objetivo é obter uma expressão em termos de x para argsech(x) no domínio xin(0,1].

Passo 2

Usando a identidade sech(y)=1/cosh(y), a condição sech(y)=x torna-se
1cosh(y) = x Longrightarrow cosh(y) = 1x

Passo 3

Por definição de arco-cosseno hiperbólico ( argcosh), temos
y = argcosh!l(tfrac1xr) e argcosh(u) = ln!l(u + raizu^2-1r)
Logo,
y = ln!l(1x + raizl(tfrac1xr)^2 - 1r)

Passo 4

Simplificamos a raiz:
l(tfrac1xr)^2 - 1 = 1x^2 - 1 = 1 - x^2x^2,
portanto
raizl(tfrac1xr)^2 - 1 = raiz1 - x^2x
Substituindo em y
y = ln!l(1x + raiz1 - x^2xr) = ln!l(1 + raiz1 - x^2xr)

Passo 5

Concluímos que, para xin(0,1],
argsech(x) = ln!l(1 + raiz1 - x^2xr)

Resposta

argsech(x) = ln!l(1 + raiz1 - x^2xr), xin(0,1]

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