As inversas das funções hiperbolicas são definidas por:
a) y=argsenh(x) se, e somente se, senh(y)=x.
b) y=argcosh(x) se, e somente se, cosh (y)=x.
c) y=ar>gh(x) se, e somente se, tgh(y)=x.
d) y=argcotgh(x) se, e somente se, cotgh(y)=x.
e) y=argsech(x) se, e somente se, sech(y)=x.
f) y=argcosech(x) se, e somente se, cosech(y)=x.
I) Verifique que:
c) ar>gh(x)=ln (raizx+11-x),|x|<1

Passo 1

O enunciado define a função inversa por
Queremos mostrar que, para ,
Para isso vamos usar a expressão de em termos de exponenciais e resolver para .

Passo 2

Lembramos que
Substituindo , obtemos a equação

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por e^y+e^-y, ficando
e^y-e^-y=x,(e^y+e^-y) Longrightarrow e^y-e^-y=x,e^y+x,e^-y
Reagrupando termos com e^y e e^-y,
e^y(1 - x)=e^-y(1 + x)

Passo 4

Como e^-y=1e^y, podemos escrever
e^y(1 - x) =1+xe^y Longrightarrow e^2y=1+x1-x

Passo 5

Tomando logaritmo natural em ambos os lados,
2y =ln!l(tfrac1+x1-xr) Longrightarrow y =12,ln!l(tfrac1+x1-xr)

Passo 6

Observamos que
12,ln!l(tfrac1+x1-xr) =ln!l(raiztfrac1+x1-xr),
o que coincide com a fórmula desejada.

Resposta

ar>gh(x) =ln!l(raiztfracx+11-xr), |x|<1

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