Analizar se os seguintes subconjuntos de R^4 são subespaços de R^4 :
T=(x, y, z, u) in R^4 / 2 x-y=u vee x-2 y=z

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
T = (x,y,z,u)inR^4 mid 2x - y = u ;ou; x - 2y = z
é subespaço de R^4. O conteúdo aqui é teoria de subespaços vetoriais, em que precisamos checar as propriedades de conter o vetor zero, fechamento sob adição e fechamento sob multiplicação por escalares.

Passo 2

Um subconjunto V de R^n é subespaço vetorial se, e somente se, satisfaz:
  1. O vetor zero está em V.
  2. Para quaisquer v, win V, tem-se v + win V.
  3. Para qualquer alphainR e vin V, tem-se alpha vin V.

Passo 3

Verificamos o vetor zero (0,0,0,0). Calculando
2cdot 0 - 0 = 0 e 0 - 2cdot 0 = 0,
vemos que ambas as equações são satisfeitas, em particular a primeira. Logo
(0,0,0,0)in T

Passo 4

Para testar o fechamento sob adição, tomemos
v = (1,0,0,2), w = (2,1,0,0)
Em v temos 2cdot1-0=2, ou seja u=2, então vin T pela condição 2x-y=u. Em w temos 2-2cdot1=0, ou seja z=0, então win T pela condição x-2y=z. Mas
v+w = (3,1,0,2)
não satisfaz nenhuma das duas equações:
2cdot3-1=5neq2, 3-2cdot1=1neq0,
portanto v+wnotin T. Falha o fechamento sob adição.

Passo 5

Como T não é fechado sob soma de vetores, não cumpre todas as condições de subespaço vetorial.

Resposta

T não é subespaço de R^4.

Exercícios relacionados