Analizar se os seguintes subconjuntos de
são subespaços de
:
Passo 1
O enunciado pede para verificar se
é subespaço de
. O conteúdo aqui é teoria de subespaços vetoriais, em que precisamos checar as propriedades de conter o vetor zero, fechamento sob adição e fechamento sob multiplicação por escalares.
Passo 2
Um subconjunto
de
é subespaço vetorial se, e somente se, satisfaz:
- O vetor zero está em
. - Para quaisquer
, tem-se . - Para qualquer
e , tem-se .
Passo 3
Verificamos o vetor zero
. Calculando
vemos que ambas as equações são satisfeitas, em particular a primeira. Logo
Passo 4
Para testar o fechamento sob adição, tomemos
Em
temos
, ou seja
, então
pela condição
. Em
temos
, ou seja
, então
pela condição
. Mas
não satisfaz nenhuma das duas equações:
portanto
. Falha o fechamento sob adição.
Passo 5
Como
não é fechado sob soma de vetores, não cumpre todas as condições de subespaço vetorial.