Determine uma base para cada um dos seguintes subespaços:
Além disso, defina o conceito de autovalor de e encontre dois autovalores dessa transformação.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! A questão nos pede para encontrar bases para dois subespaços específicos relacionados a um operador linear que atua em . Além disso, precisamos definir o que é um autovalor dessa transformação e encontrar dois autovalores. Para isso, vamos usar conceitos de autovalores e autovetores, que ajudam a entender como o operador age nos vetores do espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa . Esse operador linear transforma qualquer vetor de em outro vetor conforme a regra definida. Nossa missão é achar vetores que, quando aplicamos neles, o resultado é um múltiplo do vetor original. Esses múltiplos são os chamados autovalores.
Passo 3
Vamos começar definindo o que é um autovalor. Um número é um autovalor de se existe um vetor não nulo tal que . O vetor é chamado de autovetor correspondente a .
Passo 4
Para encontrar os autovalores de , precisamos resolver a equação característica det() = 0, onde é a matriz identidade. Vamos montar essa matriz: