Seja T: R^2 R^2 o operador linear definido por:
T(x, y)=(3 x-2 y,-2 x+3 y)
Determine uma base para cada um dos seguintes subespaços:
U1 & =(x, y) in R^2 mid T(x, y)=5(x, y) U2 & =(x, y) in R^2 mid T(x, y)=(x, y)
Além disso, defina o conceito de autovalor de T e encontre dois autovalores dessa transformação.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! A questão nos pede para encontrar bases para dois subespaços específicos relacionados a um operador linear T que atua em R^2 . Além disso, precisamos definir o que é um autovalor dessa transformação e encontrar dois autovalores. Para isso, vamos usar conceitos de autovalores e autovetores, que ajudam a entender como o operador T age nos vetores do espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa T(x, y) = (3x - 2y, -2x + 3y) . Esse operador linear transforma qualquer vetor (x, y) de R^2 em outro vetor conforme a regra definida. Nossa missão é achar vetores que, quando aplicamos T neles, o resultado é um múltiplo do vetor original. Esses múltiplos são os chamados autovalores.

Passo 3

Vamos começar definindo o que é um autovalor. Um número lambda é um autovalor de T se existe um vetor não nulo v tal que T(v) = lambda v . O vetor v é chamado de autovetor correspondente a lambda .

Passo 4

Para encontrar os autovalores de T , precisamos resolver a equação característica det( T - lambda I ) = 0, onde I é a matriz identidade. Vamos montar essa matriz:
T - lambda I = 3 - lambda & -2 -2 & 3 - lambda

Passo 5

Calculando o determinante:
det(T - lambda I) = (3 - lambda)(3 - lambda) - (-2)(-2) = (3 - lambda)^2 - 4
Igualando a zero:
(3 - lambda)^2 - 4 = 0 (3 - lambda)^2 = 4 3 - lambda = pm 2

Passo 6

Resolvendo para lambda :
  1. 3 - lambda = 2 lambda = 1
  2. 3 - lambda = -2 lambda = 5
Então, os autovalores são lambda1 = 1 e lambda2 = 5 .

Passo 7

Agora que temos os autovalores, vamos encontrar as bases para os subespaços U1 e U2 :
  • U1 é o conjunto de vetores que são autovetores correspondentes a lambda = 5 .
  • U2 é o conjunto de vetores que são autovetores correspondentes a lambda = 1 .

Passo 8

Vamos encontrar U1 . Precisamos resolver T(x, y) = 5(x, y) :
(3x - 2y, -2x + 3y) = (5x, 5y)
Isso nos dá o sistema de equações:
3x - 2y = 5x -2x + 3y = 5y

Passo 9

Resolvendo as equações:
  1. 3x - 2y = 5x -2y = 2x y = -x
  2. -2x + 3y = 5y -2x = 2y y = -x
Ambas as equações levam a y = -x .

Passo 10

Portanto, os vetores em U1 têm a forma (x, -x) . Podemos escolher x = 1 para encontrar uma base:
v = (1, -1)
Então, a base para U1 é (1, -1) .

Passo 11

Agora, vamos encontrar U2 . Precisamos resolver T(x, y) = (x, y) :
(3x - 2y, -2x + 3y) = (x, y)
Isso nos dá o sistema de equações:
3x - 2y = x -2x + 3y = y

Passo 12

Resolvendo as equações:
  1. 3x - 2y = x 2x = 2y y = x
  2. -2x + 3y = y -2x + 2y = 0 y = x
Ambas as equações levam a y = x .

Passo 13

Portanto, os vetores em U2 têm a forma (x, x) . Podemos escolher x = 1 para encontrar uma base:
w = (1, 1)
Então, a base para U2 é (1, 1) .

Resposta

As bases dos subespaços são:
Base de U1 &: , (1, -1) , Base de U2 &: , (1, 1) ,
Além disso, os autovalores da transformação T são 1 e 5 .

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