Seja T: R^2 R^2 o operador linear definido por:
T(x, y)=(3 x-2 y,-2 x+3 y)
Mostre que T é uma transformação linear.

Passo 1

O enunciado define o operador T:R^2toR^2 por
T(x,y) = (,3x - 2y,,-2x + 3y,)
Para mostrar que T é uma transformação linear, precisamos verificar que, para quaisquer vetores u,vinR^2 e escalar lambdainR, valem as propriedades
  1. T(u+v)=T(u)+T(v),
  2. T(lambda u)=lambda,T(u).

Passo 2

Sejam u=(x1,y1) e v=(x2,y2). Então
u+v = (,x1+x2,;y1+y2,)
e
T(u+v) = l(3(x1+x2)-2(y1+y2),;-2(x1+x2)+3(y1+y2)r)
Expandindo,
T(u+v) = l(3x1+3x2-2y1-2y2,;-2x1-2x2+3y1+3y2r)
= l(3x1-2y1,,-2x1+3y1r) +l(3x2-2y2,,-2x2+3y2r) = T(u) + T(v)

Passo 3

Seja lambdainR e u=(x,y). Então
lambda u = (lambda x,;lambda y)
e
T(lambda u) = l(3(lambda x)-2(lambda y),;-2(lambda x)+3(lambda y)r) = l(lambda(3x-2y),;lambda(-2x+3y)r) = lambda,T(u)

Resposta

Como T(u+v)=T(u)+T(v) e T(lambda u)=lambda,T(u) para todo u,vinR^2 e lambdainR, concluímos que T é uma transformação linear.

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