Considere a transformação T: R^3 P3(R) definida por:
T(1,1,0)=3+x+x^3, T(0,1,1)=2+x^2, T(1,0,1)=x-x^3
Determine Im(T). A transformação linear T é sobrejetora?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar uma transformação linear T: R^3 P3(R) . Isso está no campo da Álgebra Linear, mais especificamente nas transformações lineares e seus conceitos de imagem e sobrejetividade. A gente vai precisar entender como encontrar a imagem da transformação T e verificar se ela é sobrejetora, ou seja, se ela cobre todo o espaço de chegada P3(R) .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a imagem de uma transformação linear. A imagem de T , denotada por Im(T) , é o conjunto de todos os vetores no espaço de chegada que podem ser obtidos aplicando T a algum vetor do espaço de partida. No nosso caso, é o conjunto de todos os polinômios que podemos obter usando as combinações lineares das imagens dos vetores (1,1,0) , (0,1,1) e (1,0,1) sob T .

Passo 3

Vamos listar as imagens fornecidas:
T(1,1,0) &= 3 + x + x^3, T(0,1,1) &= 2 + x^2, T(1,0,1) &= x - x^3
Queremos ver quais polinômios podemos obter combinando linearmente esses três. Ou seja, qualquer polinômio na imagem Im(T) pode ser escrito como:
a(3 + x + x^3) + b(2 + x^2) + c(x - x^3),
onde a, b, c são números reais.

Passo 4

Vamos simplificar essa expressão:
a(3 + x + x^3) + b(2 + x^2) + c(x - x^3) &= 3a + ax + a x^3 + 2b + b x^2 + c x - c x^3 &= (3a + 2b) + (a + c)x + b x^2 + (a - c)x^3
Podemos reorganizar os termos para ver os coeficientes de cada potência de x :
Im(T) = , (3a + 2b) + (a + c)x + b x^2 + (a - c)x^3 mid a, b, c in R ,

Passo 5

Agora, para determinar se T é sobrejetora, precisamos verificar se conseguimos obter todos os polinômios em P3(R) através dessas combinações. O espaço P3(R) é formado por todos os polinômios de grau até 3, ou seja:
P3(R) = , d + e x + f x^2 + g x^3 mid d, e, f, g in R ,
Note que nossa imagem atual tem apenas três parâmetros ( a, b, c ) para controlar quatro coeficientes ( d, e, f, g ). Isso sugere que talvez não consigamos cobrir todo o espaço.

Passo 6

Vamos montar um sistema de equações para ver se podemos resolver para qualquer [d, e, f, g):
Somando as duas últimas equações:
Substituindo (a] na primeira equação:
Agora, sabendo que , temos:
E, por fim, substituindo na equação :

Passo 7

Perceba que para resolvermos o sistema, temos uma restrição:
f = 2d - 3e - 3g4
Isso significa que nem todos os valores de d, e, f, g são possíveis, a menos que essa condição seja satisfeita. Portanto, nem todo polinômio em P3(R) pode ser obtido através da transformação T .

Resposta

A imagem de T é o conjunto de todos os polinômios da forma (3a + 2b) + (a + c)x + b x^2 + (a - c)x^3 , onde a, b, c in R . Isso significa que:
Im(T) = span, 3 + x + x^3, 2 + x^2, x - x^3 ,
Como o espaço alvo P3(R) possui dimensão 4 e a imagem de T possui dimensão 3, a transformação linear T não é sobrejetora.

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