Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar uma transformação linear . Isso está no campo da Álgebra Linear, mais especificamente nas transformações lineares e seus conceitos de imagem e sobrejetividade. A gente vai precisar entender como encontrar a imagem da transformação e verificar se ela é sobrejetora, ou seja, se ela cobre todo o espaço de chegada .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a imagem de uma transformação linear. A imagem de , denotada por , é o conjunto de todos os vetores no espaço de chegada que podem ser obtidos aplicando a algum vetor do espaço de partida. No nosso caso, é o conjunto de todos os polinômios que podemos obter usando as combinações lineares das imagens dos vetores , e sob .
Passo 3
Vamos listar as imagens fornecidas:
Queremos ver quais polinômios podemos obter combinando linearmente esses três. Ou seja, qualquer polinômio na imagem pode ser escrito como:
onde são números reais.
Passo 4
Vamos simplificar essa expressão:
Podemos reorganizar os termos para ver os coeficientes de cada potência de :
Passo 5
Agora, para determinar se é sobrejetora, precisamos verificar se conseguimos obter todos os polinômios em através dessas combinações. O espaço é formado por todos os polinômios de grau até 3, ou seja:
Note que nossa imagem atual tem apenas três parâmetros () para controlar quatro coeficientes (). Isso sugere que talvez não consigamos cobrir todo o espaço.
Passo 6
Vamos montar um sistema de equações para ver se podemos resolver para qualquer [d, e, f, g):
Somando as duas últimas equações:
Substituindo (a] na primeira equação:
Agora, sabendo que , temos:
E, por fim, substituindo na equação :
Passo 7
Perceba que para resolvermos o sistema, temos uma restrição:
f = 2d - 3e - 3g4
Isso significa que nem todos os valores de d, e, f, g são possíveis, a menos que essa condição seja satisfeita. Portanto, nem todo polinômio em P3(R) pode ser obtido através da transformação T .
Resposta
A imagem de T é o conjunto de todos os polinômios da forma (3a + 2b) + (a + c)x + b x^2 + (a - c)x^3 , onde a, b, c in R . Isso significa que:
Im(T) = span, 3 + x + x^3, 2 + x^2, x - x^3 ,
Como o espaço alvo P3(R) possui dimensão 4 e a imagem de T possui dimensão 3, a transformação linear T não é sobrejetora.