Analizar se w é um subespaço vetorial do R^3 em cada um dos seguintes conjuntos:
W=(x, y, z) in R^3 / x=2 y

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
W = (x,y,z)in R^3 mid x = 2y
é um subespaço vetorial de R^3.
Para isso, vamos usar o critério de subespaço: mostrar que Wneqemptyset, que é fechado sob soma de vetores e sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificar que W não é vazio, exibindo o vetor zero.
O vetor zero em R^3 é (0,0,0). Como 0 = 2cdot 0, temos (0,0,0)in W.
Logo, Wneqemptyset.

Passo 3

Verificar fechamento sob soma.
Tomemos
u = (x1,y1,z1)in W, v = (x2,y2,z2)in W
Como uin W e vin W, vale
x1 = 2y1 e x2 = 2y2
Então
u+v = (x1 + x2,;y1 + y2,;z1 + z2)
Mas
x1 + x2 = 2y1 + 2y2 = 2,(y1 + y2),
logo u+v satisfaz a condição de W. Portanto u+vin W.

Passo 4

Verificar fechamento sob multiplicação por escalar.
Seja lambdainR e u=(x,y,z)in W, com x=2y. Então
lambda u = (lambda x,;lambda y,;lambda z) = (lambdacdot 2y,;lambda y,;lambda z) = (2(lambda y),;lambda y,;lambda z),
e vemos que o primeiro componente é o dobro do segundo. Logo lambda uin W.

Resposta

W é subespaço vetorial de R^3.\n

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