onde é o traço de , isto é, a soma dos elementos da diagonal principal. Queremos provar que é um espaço vetorial sobre . Para isso, basta mostrar que é um subespaço de , verificando que (i) a matriz zero pertence a , (ii) é fechado sob adição e (iii) é fechado sob multiplicação escalar.
Passo 2
Verificamos que a matriz zero está em . A matriz nula em é
e seu traço é
Tr(0) = 0 + 0 = 0
Logo, 0 in V.
Passo 3
Mostramos que V é fechado sob adição. Sejam A,Bin V. Então
Tr(A)=0 e Tr(B)=0
Como o traço é linear em relação à soma de matrizes,
Tr(A+B) = Tr(A) + Tr(B) = 0 + 0 = 0
Portanto A+Bin V.
Passo 4
Mostramos que V é fechado sob multiplicação escalar. Seja lambdainR e Ain V. Então Tr(A)=0 e, pela linearidade do traço em relação à multiplicação escalar,
Tr(lambda A) = lambda,Tr(A) = lambdacdot 0 = 0
Assim lambda Ain V.
Passo 5
Como V contém a matriz zero, é fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalar, concluímos que V é um subespaço de M2times2. Logo, V é um espaço vetorial sobre R.
Resposta
V é um subespaço vetorial de M2times2 e, portanto, é um espaço vetorial.