4- Provar que V=A in M2 x 2 / Tr(A)=0 é um espaço vetorial.

Passo 1

O enunciado define
V = Ain M2times2mid Tr(A)=0,
onde Tr(A) é o traço de A, isto é, a soma dos elementos da diagonal principal. Queremos provar que V é um espaço vetorial sobre R. Para isso, basta mostrar que V é um subespaço de M2times2, verificando que (i) a matriz zero pertence a V, (ii) V é fechado sob adição e (iii) V é fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificamos que a matriz zero está em V. A matriz nula em M2times 2 é
0 = 0 & 0 0 & 0,
e seu traço é
Tr(0) = 0 + 0 = 0
Logo, 0 in V.

Passo 3

Mostramos que V é fechado sob adição. Sejam A,Bin V. Então
Tr(A)=0 e Tr(B)=0
Como o traço é linear em relação à soma de matrizes,
Tr(A+B) = Tr(A) + Tr(B) = 0 + 0 = 0
Portanto A+Bin V.

Passo 4

Mostramos que V é fechado sob multiplicação escalar. Seja lambdainR e Ain V. Então Tr(A)=0 e, pela linearidade do traço em relação à multiplicação escalar,
Tr(lambda A) = lambda,Tr(A) = lambdacdot 0 = 0
Assim lambda Ain V.

Passo 5

Como V contém a matriz zero, é fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalar, concluímos que V é um subespaço de M2times2. Logo, V é um espaço vetorial sobre R.

Resposta

V é um subespaço vetorial de M2times2 e, portanto, é um espaço vetorial.

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