Averiguar se os seguintes conjuntos são ou não subespaços vetoriais:
V=(x, y, z) in R^3 / x+y=z

Passo 1

O enunciado define
V = (x,y,z)inR^3 mid x+y = z
e pergunta se V é subespaço vetorial de R^3. Para responder isso, vamos verificar as três propriedades de subespaço: contém o vetor nulo, é fechado sob soma e é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor nulo (0,0,0) pertence a V. De fato,
0 + 0 = 0,
logo (0,0,0) satisfaz a condição x+y=z e pertence a V.

Passo 3

Verificamos a fechadura sob soma. Tomemos
u=(x1,y1,z1)in V, v=(x2,y2,z2)in V
Então
x1 + y1 = z1,
x2 + y2 = z2
Ao somar u+v=(x1+x2,;y1+y2,;z1+z2), temos
(x1+x2) + (y1+y2) = (x1+y1) + (x2+y2) = z1 + z2,
logo u+v também satisfaz a relação e pertence a V.

Passo 4

Verificamos a fechadura sob multiplicação por escalar. Para cinR e u=(x,y,z)in V com x+y=z, considere c,u=(c,x,c,y,c,z). Então
(c,x)+(c,y) = c,(x+y) = c,z,
portanto c,u satisfaz a condição e está em V.

Resposta

V é subespaço vetorial de R^3.

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