Analizar se w é um subespaço vetorial do
em cada um dos seguintes conjuntos:
Passo 1
O enunciado define
e pede para decidir se
é subespaço vetorial de
. Para isso vamos usar os critérios clássicos: (i)
, (ii) fechamento em soma de vetores, (iii) fechamento em multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos se o vetor zero
está em
. Como
temos
. Logo o primeiro critério está satisfeto.
Passo 3
Analisamos a soma. Se
e
pertencem a
, então
Somando as desigualdades correspondentes, obtemos
logo
também satisfaz
. Assim
é fechado sob adição.
Passo 4
Agora vemos o fechamento por escalar. Seja
e
, isto é
. Se
, multiplica-se tudo por
e continua valendo
Mas se
, ao multiplicar por
as desigualdades invertem-se, ficando
o que não garante
. Por exemplo, tomando
e
, obtemos
em que
é falso. Logo
não é fechado sob multiplicação por escalares.
Passo 5
Concluímos que, apesar de
conter o vetor zero e ser fechado sob adição, falha no fechamento sob multiplicação por escalares (negativos). Portanto
não é subespaço vetorial de
.