Analizar se w é um subespaço vetorial do R^3 em cada um dos seguintes conjuntos:
W=(x, y, z) in R^3 / x <= y <= z

Passo 1

O enunciado define
W = (x,y,z)in R^3 mid x <= y <= z
e pede para decidir se W é subespaço vetorial de R^3. Para isso vamos usar os critérios clássicos: (i) 0in W, (ii) fechamento em soma de vetores, (iii) fechamento em multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor zero (0,0,0) está em W. Como
0 <= 0 <= 0,
temos (0,0,0)in W. Logo o primeiro critério está satisfeto.

Passo 3

Analisamos a soma. Se u=(x1,y1,z1) e v=(x2,y2,z2) pertencem a W, então
x1 <= y1 <= z1 e x2 <= y2 <= z2
Somando as desigualdades correspondentes, obtemos
x1 + x2 <= y1 + y2 e y1 + y2 <= z1 + z2,
logo u+v = (x1+x2,;y1+y2,;z1+z2) também satisfaz x<= y<= z. Assim W é fechado sob adição.

Passo 4

Agora vemos o fechamento por escalar. Seja lambdainR e u=(x,y,z)in W, isto é x<= y<= z. Se lambda>=0, multiplica-se tudo por lambda e continua valendo
lambda x <= lambda y <= lambda z
Mas se lambda<0, ao multiplicar por lambda as desigualdades invertem-se, ficando
lambda x >= lambda y >= lambda z,
o que não garante lambda x <= lambda y. Por exemplo, tomando lambda=-1 e u=(0,1,2)in W, obtemos -u=(0,-1,-2) em que 0<= -1 é falso. Logo W não é fechado sob multiplicação por escalares.

Passo 5

Concluímos que, apesar de W conter o vetor zero e ser fechado sob adição, falha no fechamento sob multiplicação por escalares (negativos). Portanto W não é subespaço vetorial de R^3.

Resposta

W não é um subespaço vetorial de R^3.

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