6- Determinar se os seguintes conjuntos são subespaços do
:
Passo 1
O enunciado pede para verificar se dois subconjuntos de
, chamados
e
, são subespaços vetoriais. Para isso, precisamos lembrar que um subconjunto
é subespaço se, e somente se:
- O vetor nulo
está em . -
é fechado sob soma: se então . -
é fechado sob multiplicação escalar: se e então .
Passo 2
Vamos estudar primeiro
A equação
implica que
No primeiro caso
dá
, logo
.
No segundo caso dá
, logo
.
Portanto
No segundo caso
Portanto
isto é, a união do eixo
com o eixo
.
Passo 3
Para ver que
não é subespaço, basta notar que não é fechado sob soma: por exemplo
e
, mas
pois
não pertence nem ao eixo
nem ao eixo
. Logo
falha na condição de fechamento sob soma; portanto
não é subespaço.
Passo 4
Agora analisamos
Multiplicando ambos os lados por
, obtemos
Logo
Esse é exatamente o subespaço gerado pelo vetor
, que contém
, e é fechado sob soma e multiplicação escalar. Portanto
é subespaço.