6- Determinar se os seguintes conjuntos são subespaços do R^2 :
T=(x, y) in R^2 /(x-y)^2=(x+y)^2 S=(x, y) in R^2 / x2+y=x-y2

Passo 1

O enunciado pede para verificar se dois subconjuntos de R^2, chamados T e S, são subespaços vetoriais. Para isso, precisamos lembrar que um subconjunto WsubseteqR^2 é subespaço se, e somente se:
  1. O vetor nulo (0,0) está em W.
  2. W é fechado sob soma: se u,vin W então u+vin W.
  3. W é fechado sob multiplicação escalar: se uin W e lambdainR então lambda uin W.

Passo 2

Vamos estudar primeiro
T=(x,y)inR^2 mid (x-y)^2=(x+y)^2
A equação (x-y)^2=(x+y)^2 implica que
x-y = x+y ou x-y = -,(x+y)
No primeiro caso x-y=x+y -y=y, logo y=0.
No segundo caso x-y = -x - y x=-x, logo x=0.
Portanto
T = (x,0)mid xinR;cup;(0,y)mid yinR,
isto é, a união do eixo x com o eixo y.

Passo 3

Para ver que T não é subespaço, basta notar que não é fechado sob soma: por exemplo (1,0)in T e (0,1)in T, mas
(1,0)+(0,1) = (1,1)notin T
pois (1,1) não pertence nem ao eixo x nem ao eixo y. Logo T falha na condição de fechamento sob soma; portanto T não é subespaço.

Passo 4

Agora analisamos
S=l(x,y)inR^2 mid tfracx2+y = x - tfracy2r
Multiplicando ambos os lados por 2, obtemos
x + 2y = 2x - y Longrightarrow -x + 3y = 0 Longrightarrow x = 3y
Logo
S = (3y,y)mid yinR = y,(3,1)mid yinR = span(3,1)
Esse é exatamente o subespaço gerado pelo vetor (3,1), que contém (0,0), e é fechado sob soma e multiplicação escalar. Portanto S é subespaço.

Resposta

T não é subespaço de R^2.
S é subespaço de R^2.

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