Averiguar se os seguintes conjuntos são ou não subespaços vetoriais:
V=(x, y) in R^2 / x <= y

Passo 1

O enunciado nos dá o subconjunto
V = (x,y)inR^2 mid x<= y
e pede para verificar se V é um subespaço vetorial de R^2. Para isso, vamos usar a caracterização de subespaço: verificar se o vetor nulo pertence a V, se V é fechado sob soma e se é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor nulo (0,0) pertence a V. Como
0 <= 0,
temos (0,0)in V. Logo, a primeira condição está satisfeita.

Passo 3

Agora, checamos a clausura sob soma. Se (x1,y1)in V e (x2,y2)in V, então
x1 <= y1 e x2 <= y2
Somando as duas desigualdades resulta
x1 + x2 <= y1 + y2,
logo (x1+x2,;y1+y2)in V. Portanto, V é fechado sob soma.

Passo 4

Por fim, testamos a clausura sob multiplicação escalar. Considere lambda = -1 e o vetor (1,2)in V (pois 1<=2). Então
(-1),(1,2) = (-1,-2)
Para que (-1,-2) estivesse em V precisaríamos de -1<= -2, o que é falso. Logo, V não é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

V não é um subespaço vetorial de R^2.

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