Determine se é um conjunto linearmente independente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se o conjunto de polinômios é linearmente independente. Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente sobre combinações lineares e independência linear. Para resolver, vamos precisar entender o que significa um conjunto ser linearmente independente e aplicar esse conceito aos polinômios que temos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é independência linear. Um conjunto de vetores (ou polinômios, no nosso caso) é linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Em outras palavras, se não existe uma maneira de escrever um dos polinômios como combinação dos outros, o conjunto é independente.
Passo 3
Vamos supor que exista uma combinação linear dos polinômios que resulte no polinômio zero. Ou seja, queremos encontrar constantes , e tais que:
Passo 4
Agora, vamos expandir essa equação e combinar os termos semelhantes:
Simplificando:
Passo 5
Para que essa equação seja igual a zero para todo valor de , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero. Assim, temos o seguinte sistema de equações:
Passo 6
Vamos resolver esse sistema passo a passo:
Da terceira equação, já sabemos que c2 = 0.
Com c2 = 0, a primeira equação fica 3c1 = 0, o que implica que c1 = 0.
Agora, com c1 = 0, a segunda equação nos dá 0 + c3 = 0, ou seja, c3 = 0.
A última equação c1 - c3 = 0 também confirma que 0 - 0 = 0, o que está de acordo.
Resposta
Como a única solução é c1 = c2 = c3 = 0, concluímos que o conjunto 3 + x + x^3, 2 + x^2, x - x^3é linearmente independente.