Considere a transformação T: R^3 P3(R) definida por:
T(1,1,0)=3+x+x^3, T(0,1,1)=2+x^2, T(1,0,1)=x-x^3
Determine se 3+x+x^3, 2+x^2, x-x^3 é um conjunto linearmente independente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se o conjunto de polinômios 3 + x + x^3, 2 + x^2, x - x^3 é linearmente independente. Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente sobre combinações lineares e independência linear. Para resolver, vamos precisar entender o que significa um conjunto ser linearmente independente e aplicar esse conceito aos polinômios que temos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é independência linear. Um conjunto de vetores (ou polinômios, no nosso caso) é linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Em outras palavras, se não existe uma maneira de escrever um dos polinômios como combinação dos outros, o conjunto é independente.

Passo 3

Vamos supor que exista uma combinação linear dos polinômios que resulte no polinômio zero. Ou seja, queremos encontrar constantes c1, c2 e c3 tais que:
c1(3 + x + x^3) + c2(2 + x^2) + c3(x - x^3) = 0

Passo 4

Agora, vamos expandir essa equação e combinar os termos semelhantes:
c1(3) + c1(x) + c1(x^3) + c2(2) + c2(x^2) + c3(x) - c3(x^3) = 0
Simplificando:
(3c1 + 2c2) + (c1 + c3)x + c2x^2 + (c1 - c3)x^3 = 0

Passo 5

Para que essa equação seja igual a zero para todo valor de x, os coeficientes de cada potência de x devem ser iguais a zero. Assim, temos o seguinte sistema de equações:
3c1 + 2c2 = 0 c1 + c3 = 0 c2 = 0 c1 - c3 = 0

Passo 6

Vamos resolver esse sistema passo a passo:
  1. Da terceira equação, já sabemos que c2 = 0.
  2. Com c2 = 0, a primeira equação fica 3c1 = 0, o que implica que c1 = 0.
  3. Agora, com c1 = 0, a segunda equação nos dá 0 + c3 = 0, ou seja, c3 = 0.
  4. A última equação c1 - c3 = 0 também confirma que 0 - 0 = 0, o que está de acordo.

Resposta

Como a única solução é c1 = c2 = c3 = 0, concluímos que o conjunto 3 + x + x^3, 2 + x^2, x - x^3 é linearmente independente.

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