Averiguar se os seguintes conjuntos são ou não subespaços vetoriais:
Passo 1
O enunciado pede para verificar se
é um subespaço vetorial de . O conteúdo envolve a definição de subespaço: precisamos checar se
contém o vetor zero e se é fechado sob soma e multiplicação por escalar.
é um subespaço vetorial de
Passo 2
Lembrando a definição, um subconjunto
de
é subespaço vetorial se, e só se:
-
. - Para quaisquer
, tem-se . - Para qualquer
e qualquer escalar , tem-se .
Passo 3
Verificamos o vetor zero: deve existir
tal que
Das duas primeiras coordenadas vem
, mas então a terceira é
. Logo
e
já falha a condição 1.
Passo 4
Para reforçar, note também a falha de fechamento por escalar. Por exemplo, o vetor
está em
(com
), mas para
não pode ser escrito como
, pois, se
, teríamos terceiro componente
. Logo não há fechamento por escalar.