Averiguar se os seguintes conjuntos são ou não subespaços vetoriais:
V=(t, 2 t, e^t) / t in R

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
V=(t,2t,e^t) mid tinR
é um subespaço vetorial de R^3. O conteúdo envolve a definição de subespaço: precisamos checar se V contém o vetor zero e se é fechado sob soma e multiplicação por escalar.

Passo 2

Lembrando a definição, um subconjunto W de R^3 é subespaço vetorial se, e só se:
  1. 0=(0,0,0)in W.
  2. Para quaisquer u,vin W, tem-se u+vin W.
  3. Para qualquer vin W e qualquer escalar lambdainR, tem-se lambda vin W.

Passo 3

Verificamos o vetor zero: deve existir tinR tal que
(t,2t,e^t)=(0,0,0)
Das duas primeiras coordenadas vem t=0, mas então a terceira é e^0=1neq0. Logo 0notin V e V já falha a condição 1.

Passo 4

Para reforçar, note também a falha de fechamento por escalar. Por exemplo, o vetor v=(1,2,e) está em V (com t=1), mas para lambda=2
2v=(2,4,2e)
não pode ser escrito como (s,2s,e^s), pois, se s=2, teríamos terceiro componente e^2neq2e. Logo não há fechamento por escalar.

Resposta

V não é subespaço vetorial de R^3.

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