Analogamente ao ítem anterior, achar as soluçõs dos seguintes PVI:
l(1+x^2) y^prime prime+2 x y^prime-2 y=0 y(0)=y^prime(0)=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. O enunciado é:
(1 + x^2) y'' + 2 x y' - 2 y = 0 y(0) = 0, y'(0) = 0
Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais ordinárias (EDOs) e precisamos encontrar a função y(x) que satisfaz essa equação e essas condições iniciais. Para resolver, vamos seguir alguns passos básicos de resolução de EDOs de segunda ordem com coeficientes que dependem de x .

Passo 2

Primeiro, vamos tentar simplificar a equação. Observamos que ela tem termos envolvendo y'' , y' e y , com coeficientes que dependem de x . Uma boa estratégia é procurar soluções de uma forma que facilite os cálculos, como uma série de potências ou tentar transformar a equação em uma equação de Euler. Porém, nesse caso, vamos tentar uma solução em série de potências.

Passo 3

Assumimos que a solução y(x) pode ser expressa como uma série de potências em torno de x = 0 :
y(x) = sumn=0^infty an x^n
Dessa forma, suas derivadas serão:
y'(x) = sumn=1^infty n an x^n-1
y''(x) = sumn=2^infty n (n-1) an x^n-2

Passo 4

Substituímos y(x) , y'(x) e y''(x) na equação diferencial:
(1 + x^2) sumn=2^infty n (n-1) an x^n-2 + 2x sumn=1^infty n an x^n-1 - 2 sumn=0^infty an x^n = 0
Vamos distribuir os termos e alinhar os expoentes de x para igualar os coeficientes a zero.

Passo 5

Multiplicando e rearranjando os termos:
sumn=2^infty n (n-1) an x^n-2 + sumn=2^infty n (n-1) an x^n + 2 sumn=1^infty n an x^n - 2 sumn=0^infty an x^n = 0
Agora, para facilitar a comparação, fazemos uma mudança de índice para que todas as séries comecem no mesmo expoente.

Passo 6

Vamos ajustar os índices:
  • Na primeira soma, faça m = n - 2 , então n = m + 2 :
summ=0^infty (m+2)(m+1) am+2 x^m
  • As demais somas já estão alinhadas em termos de expoentes.
Então, a equação fica:
summ=0^infty (m+2)(m+1) am+2 x^m + summ=2^infty m(m-1) am x^m + 2 summ=1^infty m am x^m - 2 summ=0^infty am x^m = 0

Passo 7

Igualamos os coeficientes de cada potência de x^m a zero. Para m = 0 e m = 1 , tratamos separadamente:
  • Para m = 0 :
(2)(1) a2 + 0 + 0 - 2 a0 = 0 Rightarrow 2 a2 - 2 a0 = 0 Rightarrow a2 = a0
  • Para m = 1 :
(3)(2) a3 + 0 + 2(1) a1 - 2 a1 = 0 Rightarrow 6 a3 = 0 Rightarrow a3 = 0
  • Para m >= 2 :
(m+2)(m+1) am+2 + m(m-1) am + 2 m am - 2 am = 0
Simplificando:
(m+2)(m+1) am+2 + [m(m-1) + 2m - 2] am = 0 Rightarrow (m+2)(m+1) am+2 + (m^2 + m - 2) am = 0

Passo 8

Resolvemos a recorrência para am+2 :
am+2 = - (m^2 + m - 2) (m+2)(m+1) am
Isso nos permite expressar cada coeficiente par em termos de a0 , já que os coeficientes ímpares a1 e subsequentes são zero.

Passo 9

Usamos as condições iniciais para encontrar a0 e a1 :
y(0) = a0 = 0
y'(0) = a1 = 0
Então, todos os coeficientes an serão zero, pois cada am+2 depende de am , que são zero.

Resposta

A única solução que satisfaz o problema é y(x) = 0 .

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