Analogamente ao ítem anterior, achar as soluçõs dos seguintes PVI:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. O enunciado é:
Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais ordinárias (EDOs) e precisamos encontrar a função
que satisfaz essa equação e essas condições iniciais. Para resolver, vamos seguir alguns passos básicos de resolução de EDOs de segunda ordem com coeficientes que dependem de
.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar simplificar a equação. Observamos que ela tem termos envolvendo
,
e
, com coeficientes que dependem de
. Uma boa estratégia é procurar soluções de uma forma que facilite os cálculos, como uma série de potências ou tentar transformar a equação em uma equação de Euler. Porém, nesse caso, vamos tentar uma solução em série de potências.
Passo 3
Assumimos que a solução
pode ser expressa como uma série de potências em torno de
:
Dessa forma, suas derivadas serão:
Passo 4
Substituímos
,
e
na equação diferencial:
Vamos distribuir os termos e alinhar os expoentes de
para igualar os coeficientes a zero.
Passo 5
Multiplicando e rearranjando os termos:
Agora, para facilitar a comparação, fazemos uma mudança de índice para que todas as séries comecem no mesmo expoente.
Passo 6
Vamos ajustar os índices:
- Na primeira soma, faça
, então :
- As demais somas já estão alinhadas em termos de expoentes.
Então, a equação fica:
Passo 7
Igualamos os coeficientes de cada potência de
a zero. Para
e
, tratamos separadamente:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Simplificando:
Passo 8
Resolvemos a recorrência para
:
Isso nos permite expressar cada coeficiente par em termos de
, já que os coeficientes ímpares
e subsequentes são zero.
Passo 9
Usamos as condições iniciais para encontrar
e
:
Então, todos os coeficientes
serão zero, pois cada
depende de
, que são zero.
Resposta
A única solução que satisfaz o problema é
.