Em um ancoradouro, as marés fazem com que a superfície do oceano suba e desça uma distância Y (do nível mais alto ao nível mais baixo) em um movimento harmônico simples com um período de 12,5 \mathrm{~h}. Quanto tempo é necessário para que a água suba uma distância de 0,7 Y a partir do nível mais baixo?

Passo 1

O enunciado diz que a coluna de água faz um movimento harmônico simples com amplitude igual à metade da distância entre nível alto e baixo, ou seja A=Y/2, e período T=12,5 h. Começamos do nível mais baixo (ponto de amplitude -A) e queremos o tempo t para que a subida seja de 0,7\,Y a partir desse mínimo.

Passo 2

Como a subida a partir do mínimo é
\Delta x = x(t)-(-A)=x(t)+A,
e queremos \Delta x=0,7\,Y, usando Y=2A obtemos
x(t)+A=0,7\cdot(2A)=1,4A \quad\Longrightarrow\quad x(t)=0,4A.

Passo 3

Para descrever o movimento, podemos usar
x(t)=A\cos(\omega t+\varphi),
onde \omega=2\pi/T. Como em t=0 estamos em x(0)=-A, temos
- A = A\cos\varphi \quad\Longrightarrow\quad \cos\varphi = -1 \quad\Longrightarrow\quad \varphi = \pi.
Logo
x(t)=A\cos\bigl(\omega t+\pi\bigr).

Passo 4

Impondo x(t)=0,4A temos
\cos\bigl(\omega t+\pi\bigr)=0,4 \quad\Longrightarrow\quad \omega t+\pi = \operatorname{arccos}(0,4).
Reescrevendo,
\omega t = \operatorname{arccos}(0,4)-\pi = -\bigl(\pi-\operatorname{arccos}(0,4)\bigr),
mas como t>0 buscamos o valor positivo
\omega t = \pi-\operatorname{arccos}(0,4).

Passo 5

Substituindo \omega=2\pi/T e T=12,5 h,
t = \frac{T}{2\pi}\,\bigl(\pi-\operatorname{arccos}(0,4)\bigr) = \frac{12,5}{2\pi}\,\bigl(\pi-\operatorname{arccos}(0,4)\bigr)\,\text{h}.
Numericamente, \operatorname{arccos}(0,4)\approx1,1593 rad e \pi-1,1593\approx1,9823 rad, então
t \approx \frac{12,5}{2\pi}\times1,9823 \approx3,95\\ \text{h},
ou seja cerca de 3 h 57 min.

Resposta

O tempo necessário é aproximadamente 3,95 horas (cerca de 3 h 57 min).

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