Um pêndulo simples de massa 10 g oscila com a mesma frequência que um sistèmá massá mola pendurado verticalmente. Inicialmente a massa pendurada à mola é dé 30 g . Ambos estão sob a ação da mesma aceleração gravitacional e realizam um movimento harmônico simples. O que acontece com o período de oscilação dos dois sistemas quando suas massas passam a ser iguais a 20 g ?

Passo 1

O enunciado tem dois sistemas de movimento harmônico simples (MHS):
– Um pêndulo simples de massa inicial m_p=10,g e comprimento L.
– Uma massa presa a uma mola de constante elástica k, com massa inicial m_s=30,g.
Eles oscilam com a mesma frequência angular inicial. Vamos usar as fórmulas
\omega_p = \sqrt{\frac{g}{L}}, \quad \omega_s = \sqrt{\frac{k}{m_s}},
e o período T=2\pi/\omega.

Passo 2

Como inicialmente \omega_p = \omega_s, temos
\frac{g}{L} = \frac{k}{m_s} \quad\Longrightarrow\quad k = \frac{m_s\,g}{L}.

Passo 3

Agora as massas passam a ser ambas 20,g, isto é m_p'=m_s'=20,g.
Para o pêndulo o período fica
T_p' = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}},
que é idêntico ao período inicial T_p, pois não depende de massa.
Para a mola usamos k = m_s\,g/L e obtemos
T_s' = 2\pi\sqrt{\frac{m_s'}{k}} =2\pi\sqrt{\frac{m_s'}{(m_s\,g/L)}} =2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}\;\sqrt{\frac{m_s'}{m_s}} = T_p\;\sqrt{\frac{m_s'}{m_s}}.

Passo 4

Substituindo m_s=30,g e m_s'=20,g,
\sqrt{\frac{m_s'}{m_s}} =\sqrt{\frac{20}{30}} =\sqrt{\frac{2}{3}}\approx0,82.
Logo o período do pêndulo permanece o mesmo e o período da mola diminui para cerca de 82\% do original.

Resposta

O período do pêndulo não se altera.
O período do sistema massa-mola passa a ser
T_s' = T_s\sqrt{\tfrac{2}{3}}\approx0,82\,T_s,
ou seja, fica cerca de 18\% menor.

Exercícios relacionados