André deve a Renata 270,00 reais. Cada viagem de Renata à casa de André custa 50,00 e a probabilidade de André ser encontrado em casa é
. Se Renata encontrar André, conseguirá receber o valor da dívida.
(a) (1,0 ponto) Crie uma va
que conte as idas de Renata à casa de André. Faça a funçāo de distribuição de probabilidade.
(b) (2,0 pontos) Sabendo que o valor esperado de
é dado por
, crie a va lucro
para Renata, e calcule
. Obs.:
.
(c) ( 2,0 pontos) A partir de qual probabilidade Renata terá prejuízo em ir cobrar Andre" Obs O prejuízo ocorre quando
.
(a) (1,0 ponto) Crie uma va
(b) (2,0 pontos) Sabendo que o valor esperado de
(c) ( 2,0 pontos) A partir de qual probabilidade Renata terá prejuízo em ir cobrar Andre" Obs O prejuízo ocorre quando
Passo 1
O enunciado diz que Renata vai à casa de André repetidamente até encontrá-lo e receber os R$270,00 que ele deve. Cada visita custa R$ 50,00 e a probabilidade de sucesso em cada visita é
.
Conteúdo: variável geométrica (número de tentativas até o primeiro sucesso), expectativa de variáveis aleatórias e transformação linear de esperança.
Conteúdo: variável geométrica (número de tentativas até o primeiro sucesso), expectativa de variáveis aleatórias e transformação linear de esperança.
Passo 2
Definimos a variável aleatória
como o número de idas de Renata até encontrar André. Como cada tentativa é independente e tem probabilidade
de sucesso,
Em particular, para
,
Passo 3
Definimos o lucro
de Renata como o valor recebido menos o custo das
viagens:
Usando
e a propriedade
, temos
Passo 4
Para achar a faixa de
em que Renata terá prejuízo, impomos
:
Resposta
(a) Definindo
= número de visitas até o sucesso,
e para
,
.
(b) Com
,
(c) Renata terá prejuízo (isto é,
) se