André deve a Renata 270,00 reais. Cada viagem de Renata à casa de André custa 50,00 e a probabilidade de André ser encontrado em casa é 1 / 3. Se Renata encontrar André, conseguirá receber o valor da dívida.
(a) (1,0 ponto) Crie uma va X que conte as idas de Renata à casa de André. Faça a funçāo de distribuição de probabilidade.
(b) (2,0 pontos) Sabendo que o valor esperado de X é dado por E(X)=1 / p, crie a va lucro L para Renata, e calcule E(L). Obs.: E(a \pm b X)=a \pm b E(X).
(c) ( 2,0 pontos) A partir de qual probabilidade Renata terá prejuízo em ir cobrar Andre" Obs O prejuízo ocorre quando E(L)<0.

Passo 1

O enunciado diz que Renata vai à casa de André repetidamente até encontrá-lo e receber os R$270,00 que ele deve. Cada visita custa R$ 50,00 e a probabilidade de sucesso em cada visita é p=1/3.
Conteúdo: variável geométrica (número de tentativas até o primeiro sucesso), expectativa de variáveis aleatórias e transformação linear de esperança.

Passo 2

Definimos a variável aleatória X como o número de idas de Renata até encontrar André. Como cada tentativa é independente e tem probabilidade p de sucesso,
P(X=k) = (1-p)^{k-1}\,p,\qquad k=1,2,3,\dots
Em particular, para p = 1/3,
P(X=k) = \Bigl(\tfrac{2}{3}\Bigr)^{k-1}\,\tfrac{1}{3}.

Passo 3

Definimos o lucro L de Renata como o valor recebido menos o custo das X viagens:
L \;=\; 270 \;-\; 50\,X.
Usando E(X)=1/p e a propriedade E(a - bX)=a - b\,E(X), temos
E(L) = 270 - 50\,E(X) = 270 - 50\cdot\frac{1}{p} = 270 - 50\cdot 3 = 120.

Passo 4

Para achar a faixa de p em que Renata terá prejuízo, impomos E(L)<0:
270 - 50\cdot\frac{1}{p} < 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{p} > \frac{270}{50} = \frac{27}{5} \quad\Longrightarrow\quad p < \frac{5}{27}\approx0{,}1852.

Resposta

(a) Definindo X = número de visitas até o sucesso,
P(X=k) = (1-p)^{k-1}p,\quad k=1,2,\dots,
e para p=1/3, P(X=k)=(2/3)^{k-1}(1/3).
(b) Com L=270-50X,
E(L)=270-50\,E(X)=270-50\cdot3=120.
(c) Renata terá prejuízo (isto é, E(L)<0) se
p<\frac{5}{27}\approx0,1852.

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