A DFT de um sinal de 3 pontos é \mathbf{X}[k]=\{4,-1+ i,-1-i\} para k=0,1,2. Encontre o sinal original \mathbf{x}[k] usando a inversa da transformada discreta de Fourier (IDFT).

Passo 1

O enunciado dá a DFT de um sinal de três pontos como \mathbf{X}[k]=\{4,\,-1+i,\,-1-i\} para k=0,1,2, e pede o sinal original \mathbf{x}[n].
O conteúdo é a inversa da DFT (IDFT) para N=3, cuja fórmula é
x[n] \;=\;\frac{1}{3}\sum_{k=0}^{2}X[k]\,e^{\,i2\pi k n/3},
para n=0,1,2.

Passo 2

Para n=0 temos e^{\,i2\pi k\cdot0/3}=1 para todo k, então
x[0] =\frac{1}{3}\bigl(X[0]+X[1]+X[2]\bigr) =\frac{1}{3}\bigl(4+(-1+i)+(-1-i)\bigr) =\frac{1}{3}(4-2) =\frac{2}{3}.

Passo 3

Para n=1 usamos
W_1=e^{\,i2\pi/3}=-\tfrac12+i\tfrac{\sqrt3}{2}, \quad W_2=e^{\,i4\pi/3}=-\tfrac12-i\tfrac{\sqrt3}{2}.
Então
x[1] =\frac{1}{3}\bigl(4+(-1+i)W_1+(-1-i)W_2\bigr).
Calculemos cada produto:
(-1+i)W_1 =(-1+i)\Bigl(-\tfrac12+i\tfrac{\sqrt3}{2}\Bigr) =\tfrac{1-\sqrt3}{2}-i\tfrac{1+\sqrt3}{2},
(-1-i)W_2 =(-1-i)\Bigl(-\tfrac12-i\tfrac{\sqrt3}{2}\Bigr) =\tfrac{1+\sqrt3}{2}+i\tfrac{\sqrt3-1}{2}.
Somando e dividindo por 3, as partes imaginárias se cancelam e a real dá
x[1] =\frac{1}{3}\Bigl(4 + \frac{1-\sqrt3}{2} + \frac{1+\sqrt3}{2}\Bigr) =\frac{1}{3}(4+1) =\frac{5}{3}.

Passo 4

Para n=2 temos
x[2] =\frac{1}{3}\bigl(4+(-1+i)e^{\,i4\pi/3}+(-1-i)e^{\,i8\pi/3}\bigr).
Mas e^{\,i8\pi/3}=e^{\,i2\pi/3}=W_1 e e^{\,i4\pi/3}=W_2. Logo
x[2] =\frac{1}{3}\bigl(4+(-1+i)W_2+(-1-i)W_1\bigr).
Repetindo a conta dos produtos (ou usando o passo anterior trocando W_1 e W_2), chega-se a
x[2] =\frac{1}{3}(4+1+\sqrt3) =\frac{5+\sqrt3}{3}.

Resposta

\mathbf{x}[n] = \left\{\,\frac{2}{3},\;\frac{5}{3},\;\frac{5+\sqrt3}{3}\right\}.

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