Se \mathbf{X}[k] é a DFT de \mathbf{x}[k]=\{2,1,0,4\} e Se \mathbf{Y}[k] é a DFT de \mathbf{y}[k]=\{1,-1,3,0\}, calcule a DFT de \mathbf{z}[k]=2 \mathbf{x}[k]-3 \mathbf{y}[k], k=0,1,2,3… (Dica: É fácil ver que a DFT é linear).

Passo 1

O enunciado dá dois sinais de comprimento 4, \mathbf{x}[n]=\{2,1,0,4\} e \mathbf{y}[n]=\{1,-1,3,0\}, e pede a DFT de \mathbf{z}[n]=2\,\mathbf{x}[n]-3\,\mathbf{y}[n]. O conteúdo chave é a linearidade da DFT, que afirma
Z[k] = \mathcal{F}\{z[n]\} = \mathcal{F}\{2\,x[n]-3\,y[n]\} = 2\,X[k] - 3\,Y[k],
onde X[k] e Y[k] são as DFTs de x[n] e y[n].

Passo 2

Calcular X[k] para k=0,1,2,3 usando
X[k] = \sum_{n=0}^{3} x[n]\,e^{-j\frac{2\pi}{4}kn}.
  • X[0]=2+1+0+4=7.
  • X[1]=2 + 1\,e^{-j\frac{\pi}{2}} + 0 + 4\,e^{-j\frac{3\pi}{2}} =2 - j + 4j = 2 + 3j.
  • X[2]=2 + 1\,e^{-j\pi} + 0 + 4\,e^{-j3\pi} =2 -1 -4 = -3.
  • X[3]=2 + 1\,e^{-j\frac{3\pi}{2}} + 0 + 4\,e^{-j\frac{9\pi}{2}} =2 + j -4j = 2 - 3j.

Passo 3

Calcular Y[k] para k=0,1,2,3 por mesma definição:
  • Y[0]=1 + (-1)+3+0 = 3.
  • Y[1]=1 + (-1)\,e^{-j\frac{\pi}{2}} + 3\,e^{-j\pi} + 0 =1 + j -3 = -2 + j.
  • Y[2]=1 + (-1)\,e^{-j\pi} + 3\,e^{-j2\pi} + 0 =1 +1 +3 = 5.
  • Y[3]=1 + (-1)\,e^{-j\frac{3\pi}{2}} + 3\,e^{-j3\pi} + 0 =1 - j -3 = -2 - j.

Passo 4

Usando linearidade, para cada k:
Z[k] = 2\,X[k] - 3\,Y[k].
  • Z[0]=2\cdot7 - 3\cdot3 = 14 - 9 = 5.
  • Z[1]=2\,(2+3j) - 3\,(-2 + j) =4 + 6j +6 -3j = 10 + 3j.
  • Z[2]=2\,(-3) - 3\cdot5 = -6 -15 = -21.
  • Z[3]=2\,(2 -3j) - 3\,(-2 - j) =4 -6j +6 +3j = 10 - 3j.

Resposta

Z[0]=5 Z[1]=10 + 3j Z[2]=-21 Z[3]=10 - 3j

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